Seja o conjunto S=\{m \in \omega ; m+0=0+m\}. Prove que S=\omega.

Passo 1

O enunciado define
S = \{\,m\in\omega \mid m+0 = 0 + m\}
e pede para mostrar que, de fato, todo natural satisfaz essa igualdade, ou seja, S=\omega.
O que vamos usar é o princípio de indução sobre \omega e as duas cláusulas que definem a adição nos números de Peano:
  1. Para todo m,
m + 0 = m.
  1. Para todo m,n,
m + S(n) = S\bigl(m + n\bigr).

Passo 2

Verificamos o caso base m=0. Precisamos checar que
0 + 0 \;=\; 0 \;=\; 0 + 0.
Mas isso é imediato pela cláusula 1: 0+0=0. Logo 0\in S.

Passo 3

Agora, suponha indutivamente que um certo k\in\omega satisfaça
k + 0 = 0 + k.
Queremos mostrar que então S(k)\in S, isto é,
S(k) + 0 \;=\; 0 + S(k).
Pela cláusula 1 da definição de adição,
S(k) + 0 = S(k).
Por outro lado, pela cláusula 2 com m=0 e n=k,
0 + S(k) = S\bigl(0 + k\bigr).
Pela hipótese indutiva 0+k = k, segue
0 + S(k) = S(k).
Concluímos então
S(k) + 0 = S(k) = 0 + S(k)),
isto é, S(k)\in S.

Resposta

Como 0\in S e S é fechado para sucessores, pelo princípio da indução segue S=\omega.

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