Suponha um meio \operatorname{com} \eta=240 \pi \Omega, onde se propaga uma onda EM cujo campo elétrico é dado por \boldsymbol{E}_{\boldsymbol{y}}(x, t)= 480 \pi \cos (\omega t-10 x) \hat{j} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine a direção dos campos elétrico e magnético e a direção de propagação da onda EM. Determine os campos elétrico e magnético na forma fasorial e o campo magnético na forma instantânea.
\begin{aligned} & \mathrm{R}: E \rightarrow y, H \rightarrow z, \text { propagação } \rightarrow x \\ & \quad \underline{E_{y}}=480 \pi \cdot e^{-j 10 x} V / m \quad \underline{H_{z}}=2 \cdot e^{-j 10 x} A / m \quad \boldsymbol{H}_{z}(x, t)=2 \cos (\omega t-10 x) \underline{\hat{k}} A / m \end{aligned}çã

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que ele fornece e o que pede):
  • Impedância intrínseca do meio: \eta=240\pi\\ \Omega.
  • Campo elétrico instantâneo: \boldsymbol{E}_{y}(x,t)=480\pi\cos(\omega t-10x)\,\hat{j}\\ \mathrm{V/m}.
  • O que o problema pede:
    1. Determinar a direção dos campos elétrico e magnético e a direção de propagação da onda eletromagnética.
    2. Determinar os campos elétrico e magnético na forma fasorial.
    3. Determinar o campo magnético na forma instantânea (no tempo).

Passo 2

Interpretar a fase da onda para achar a direção de propagação:
  • O argumento do cosseno é \omega t-10x. Uma dependência temporal \cos(\omega t - kx) representa uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo x (porque ao aumentar t mantendo a fase constante, x aumenta).
  • Portanto a direção de propagação é \hat{i} (eixo x, sentido positivo).
Explicação didática rápida: para uma onda \cos(\omega t - kx), as superfícies de fase têm \omega t - kx= constante → x=(\omega/k)t+ const, então a crista se desloca para +x. Se fosse \omega t + kx, seria para -x.

Passo 3

Determinar a direção do campo magnético a partir do campo elétrico e da direção de propagação:
  • O campo elétrico dado é ao longo de \hat{j} (eixo y), pois \boldsymbol{E}(x,t)=E_y\hat{j}.
  • Para uma onda plana EM no vácuo ou em meio homogêneo sem fontes, os vetores \boldsymbol{E}, \boldsymbol{H} e o vetor de propagação \boldsymbol{k} são mutuamente perpendiculares e obedecem a regra da mão direita: \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H} aponta na direção de propagação.
  • Como já encontramos que a propagação é \hat{i} e \boldsymbol{E} é \hat{j}, precisamos de \boldsymbol{H} tal que \hat{j}\times\boldsymbol{\hat{h}}=\hat{i}.
  • Usando produto vetorial de base: \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}. Logo \boldsymbol{H} deve estar na direção \hat{k} (eixo z).
Resumo: \boldsymbol{E} ao longo de y, \boldsymbol{H} ao longo de z, propagação ao longo de x.

Passo 4

Passagem para fasores — convenção e interpretação:
  • A forma temporal dada é \cos(\omega t-10x). A convenção de fasor aqui é tomar amplitudes complexas com dependência espacial \mathrm{e}^{-j k x} e dependência temporal e^{j\omega t} na reconstrução. Assim o fasor associado ao campo (amplitude complexa dependente de x) é o coeficiente na frente de e^{-j k x}.
  • Identificamos o número de onda k=10\\ \mathrm{rad/m}.
  • O módulo (amplitude) do campo elétrico é E_0=480\pi\\ \mathrm{V/m}. Então o fasor (função de x) do componente y é \underline{E_{y}}(x)=480\pi\,\mathrm{e}^{-j10x}\\ \mathrm{V/m}.(a notação com sublinhado \underline{\cdot} indica fasor espacial aqui).

Passo 5

Encontrar o fasor do campo magnético usando a impedância do meio:
  • Para uma onda plana progressiva em um meio homogêneo (sem perdas ou com impedância \eta conhecida), a relação entre os fasores é \underline{\boldsymbol{H}}=\frac{1}{\eta}\,\hat{u}_H\times\underline{\boldsymbol{E}}?(mais direto: para módulo e fase do campo magnético em magnitude)
    e, mais simplesmente para uma onda com \boldsymbol{E} e \boldsymbol{H} perpendiculares, vale \underline{\boldsymbol{H}}=\frac{1}{\eta}\,\hat{u}_H\,\underline{E},ou seja, o fasor de \boldsymbol{H} tem a mesma dependência de fase espacial do fasor de \boldsymbol{E} e amplitude |\underline{H}|=|\underline{E}|/\eta.
  • Calculo numérico: |\underline{H}|=\frac{480\pi}{240\pi}=2\\ \mathrm{A/m}.
  • Mantendo a dependência espacial e^{-j10x} e a direção \hat{k}, o fasor do componente z é \underline{H_{z}}(x)=2\,\mathrm{e}^{-j10x}\\ \mathrm{A/m}.
Observação didática: dividir o fasor de E por \eta corresponde a usar a definição de impedância de onda \eta=E/H (módulos) para uma onda plana.

Passo 6

Construir o campo magnético instantâneo (no tempo) a partir do fasor:
  • Se o fasor é \underline{H_{z}}(x)=2\,\mathrm{e}^{-j10x} e a dependência no tempo é \cos(\omega t-10x), a forma instantânea correspondente é a parte real de \underline{H_{z}}(x)\,e^{j\omega t}, isto é H_z(x,t)=\Re\{2\,\mathrm{e}^{-j10x}\,e^{j\omega t}\}=2\cos(\omega t-10x)\\ \mathrm{A/m}.
  • Como o campo magnético está na direção \hat{k}, o vetor instantâneo é \boldsymbol{H}(x,t)=2\cos(\omega t-10x)\,\hat{k}\\ \mathrm{A/m}.
Explicação final didática: a fase espacial e temporal permanecem iguais entre E e H em uma onda plana não dispersiva; apenas a amplitude é escalada pela impedância \eta e a direção pela regra da mão direita.

Resposta

E \rightarrow y,\\ H \rightarrow z,\\ \text{propagação} \rightarrow xçã
\underline{E_{y}}=480\pi\,\mathrm{e}^{-j10x}\\ \mathrm{V/m}\qquad \underline{H_{z}}=2\,\mathrm{e}^{-j10x}\\ \mathrm{A/m}
\boldsymbol{H}(x,t)=2\cos(\omega t-10x)\,\hat{k}\\ \mathrm{A/m}

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