Dado \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}=33,949 \mathrm{JK}^{-1} para \mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{~g}) a 25^{\circ} \mathrm{C}, determinar \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}}.

Passo 1

Dado: \mathrm{C}_{p,m}=33{,}949\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} para \mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{g}) a 25^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: determinar \mathrm{C}_{v,m} (capacidade térmica molar a volume constante) para o mesmo gás e condição.

Passo 2

Definições e ideia central (explicação didática):
  • \mathrm{C}_{p,m} é a capacidade térmica molar à pressão constante, isto é \mathrm{C}_{p,m}=\left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_p, onde H é a entalpia molar.
  • \mathrm{C}_{v,m} é a capacidade térmica molar a volume constante, isto é \mathrm{C}_{v,m}=\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V, onde U é a energia interna molar.
    Relação entre H e U: para 1 mol, H=U+PV. Para um gás ideal valem as aproximações usuais e temos PV=RT, onde R é a constante universal dos gases. Diferenciando em relação a T (à pressão constante) obtemos:
\mathrm{C}_{p,m}=\mathrm{C}_{v,m}+R.
Explicação em palavras: ao aquecer um gás à pressão constante parte do calor vai para aumentar a energia interna e parte para realizar trabalho de expansão P\Delta V; esse trabalho adicional aparece como um acréscimo de R nas capacidades molares.

Passo 3

Valor numérico da constante dos gases: usaremos
R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Isolando \mathrm{C}_{v,m} da relação \mathrm{C}_{p,m}=\mathrm{C}_{v,m}+R temos
\mathrm{C}_{v,m}=\mathrm{C}_{p,m}-R.
Substituindo os números:
\mathrm{C}_{v,m}=33{,}949-8{,}314462618=25{,}634537382\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 4

Arredondamento e observações finais: o valor calculado é \mathrm{C}_{v,m}=25{,}634537382\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}. Mantendo uma quantidade razoável de algarismos significativos (mesma ordem dos dados fornecidos) podemos escrever
\mathrm{C}_{v,m}\approx25{,}635\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Nota rápida de confiança: usamos a relação para gás ideal; a 25^\circ\mathrm{C} e pressão moderada o \mathrm{Cl}_2 comporta-se perto de um gás ideal, então essa é a resposta esperada para exercícios de termodinâmica básica. Força aí — já era a parte chata, agora é só treinar uns exercícios parecidos!

Resposta

\;25{,}635\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}

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