A pressão externa do sistema em 9 foi aumentada para 10 bar e o gás foi comprimido isotermicamente de 10,0 \mathrm{~m}^{3} e 1 bar para 1,0 \mathrm{~m}^{3} e 10 bar. Calcular o trabalho feito pelas vizinhanças. O trabalho (w) é uma função de estado ou de caminho?

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
  • A pressão externa sobre o sistema foi fixada em \,P_{\text{ext}}=10\\ \text{bar}.\n
  • O gás foi comprimido isotermicamente de um estado inicial com volume V_i=10,0\\ \mathrm{m}^3 e pressão interna 1\\ \text{bar} para um estado final com volume V_f=1,0\\ \mathrm{m}^3 e pressão interna 10\\ \text{bar}.\n
  • O enunciado pede: calcular o trabalho feito pelas vizinhanças (isto é, o trabalho realizado sobre o sistema pelas vizinhanças) e dizer se o trabalho w é função de estado ou de caminho.\n
    Observações importantes retiradas do enunciado: a compressão é realizada contra uma pressão externa constante de \,10\\ \text{bar}; o processo é, portanto, irreversível (a pressão interna do gás não acompanha infinitesimalmente a pressão externa). A isoterma informa que a temperatura permanece constante, mas para o cálculo do trabalho irreversível só precisamos de P_{\text{ext}} e \Delta V.

Passo 2

Conceitos e fórmula que precisamos (explicação didática):\n
  • Trabalho de pressão-volume: quando o volume do sistema varia, há trabalho de PV. Precisamos distinguir duas coisas: trabalho feito pelo sistema sobre as vizinhanças e trabalho feito pelas vizinhanças sobre o sistema. É essencial definir o que chamamos de w.\n
  • Vou definir w_{\text{sist}} como o trabalho feito pelo sistema sobre as vizinhanças. Com essa definição, o trabalho diferencial é d w_{\text{sist}} = P_{\text{ext}}\,dV, porque a força que troca trabalho é a pressão externa que age sobre a superfície do sistema. Integrando:\n w_{\text{sist}}=\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV.\n
  • Para o caso simples de pressão externa constante, a integral é direta e obtemos:\n w_{\text{sist}}=P_{\text{ext}}\,(V_f-V_i).\n
  • Sinais e interpretação: se V_f<V_i (compressão), então (V_f-V_i)<0 e w_{\text{sist}}<0. Isso significa que o sistema realiza trabalho negativo sobre as vizinhanças — ou, dito de outro modo, as vizinhanças realizam trabalho positivo sobre o sistema. Portanto, o trabalho feito pelas vizinhanças sobre o sistema é -\,w_{\text{sist}}.\n
  • Observação sobre irreversibilidade: como a pressão externa é mantida constante em um valor diferente da pressão interna ao longo do processo, trata-se de um processo irreversível. Para processos irreversíveis de PV, usamos w_{\text{sist}}=\int P_{\text{ext}}\,dV (e para constante P_{\text{ext}} a fórmula acima).

Passo 3

Calcular a variação de volume \Delta V:\n
  • Dados:\n V_i=10,0\\ \mathrm{m}^3,\qquad V_f=1,0\\ \mathrm{m}^3.\n
  • Portanto\n \Delta V=V_f-V_i=1,0-10,0=-9,0\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Aplicar a fórmula do trabalho (trabalho feito pelo sistema) com cuidado de unidades:\n
  • Pressão externa: \,P_{\text{ext}}=10\\ \text{bar}. Convertendo para pascal (SI):\n 1\\ \text{bar}=10^5\\ \text{Pa}\quad\Rightarrow\quad P_{\text{ext}}=10\times10^5\\ \text{Pa}=1,0\times10^6\\ \mathrm{Pa}.\n
  • Usando w_{\text{sist}}=P_{\text{ext}}(V_f-V_i):\n w_{\text{sist}}=1,0\times10^6\\ \mathrm{Pa}\times(-9,0\\ \mathrm{m}^3)=-9,0\times10^6\\ \mathrm{J}.\n
  • Interpretação do sinal: w_{\text{sist}}=-9,0\times10^6\\ \mathrm{J} significa que o sistema realizou -9{,}0\times10^6\\ \mathrm{J} de trabalho sobre as vizinhanças (valor negativo porque foi compressão). Logo, as vizinhanças realizaram +9,0\times10^6\\ \mathrm{J} sobre o sistema.

Passo 5

Calcular explicitamente o trabalho feito pelas vizinhanças (pedido do enunciado) e dar unidades alternativas:\n
  • Trabalho feito pelas vizinhanças sobre o sistema:\n w_{\text{vizinhanças}}=-\,w_{\text{sist}}=+9,0\times10^6\\ \mathrm{J}.ç\n
  • Em unidades mais usuais: \,9,0\times10^6\\ \mathrm{J}=9{,}0\times10^3\\ \mathrm{kJ}=9{,}0\\ \mathrm{MJ}.\n
  • Interpretação física curta e encorajamento: as vizinhanças entregaram energia ao sistema durante a compressão — é por isso que o sinal é positivo para o trabalho recebido pelo sistema. Está tudo certo: compressão implica trabalho positivo das vizinhanças sobre o sistema.

Passo 6

Responder se w é função de estado ou de caminho, com explicação didática e exemplo:\n
  • O trabalho w é uma função de caminho (ou função não-estado). Isso significa que o valor do trabalho depende do caminho seguido entre os estados inicial e final, não apenas dos estados iniciais e finais em si.\n
  • Por que? Porque o trabalho envolve a integral de P_{\text{ext}}\,dV ao longo do processo; diferentes formas de variar a pressão ao longo da transformação (ou diferentes pressões externas durante a compressão) produzem integrais diferentes mesmo que V_i e V_f sejam os mesmos.\n
  • Exemplo didático: se a compressão fosse feita reversivelmente e isotermicamente (isto é, a pressão do gás ajustada infinitesimalmente para acompanhar a compressão), o trabalho do sistema seria\n w_{\text{rev}}=\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{int}}\,dV=-nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),\nque normalmente tem magnitude diferente do trabalho calculado para compressão irreversível contra uma pressão constante. Assim, dois processos que vão do mesmo estado inicial ao mesmo final podem ter trabalhos diferentes — logo, trabalho é função de caminho.\n
  • Conclusão conceitual: energia interna e entalpia são funções de estado; trabalho e calor não são.

Resposta

w_{\text{vizinhanças}}=+9{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{J}=9{,}0\\ \mathrm{MJ}ç\n
w é uma função de caminho (não é função de estado).

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