Qual seria a mudança de temperatura se 1,00 mols de \mathrm{CH}_{3} \mathrm{OH}(\mathrm{g}) recebe uma quantidade de 100 J a volume constante ( \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}} para metanol é 42,89 \left.\mathrm{J} \mathrm{K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}\right) ?

Passo 1

O que o problema pede: determinar a mudança de temperatura quando 1{,}00 mol de \mathrm{CH}_3\mathrm{OH}(\mathrm{g}) recebe 100\\ \mathrm{J} a volume constante.
Dados fornecidos:
  • quantidade de matéria: n = 1{,}00\\ \mathrm{mol};
  • calor fornecido a volume constante: q_V = 100\\ \mathrm{J} (o enunciado diz “recebe 100 J a volume constante”);
  • capacidade calorífica molar a volume constante do metanol: C_{v,m} = 42{,}89\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}.
Pergunta explicita: calcular \Delta T, a variação de temperatura resultante.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha com calma):
  • A capacidade calorífica molar a volume constante, C_{v,m}, é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de 1 mol da substância em 1\\ \mathrm{K} quando o processo ocorre a volume constante. Em palavras: se você tiver n mols, para um pequeno aumento de temperatura dT o calor fornecido a volume constante é dq_V = n\,C_{v,m}\,dT.
  • Se C_{v,m} for aproximadamente constante no intervalo de temperatura considerado (hipótese comum em exercícios como este), integra-se a relação e obtém-se a fórmula simples e muito usada:
q_V = n\,C_{v,m}\,\Delta T.
Aqui:
  • q_V é o calor fornecido a volume constante (em \mathrm{J});
  • n é o número de mols (em \mathrm{mol});
  • C_{v,m} é a capacidade calorífica molar a volume constante (em \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em \mathrm{K}, numericamente igual a ^\circ\mathrm{C} quando se trata de variação).
  • Observação física curta e útil: a razão pela qual usamos q_V = n C_{v,m}\Delta T é que a um volume constante não há trabalho de expansão ( w = -P\Delta V = 0), então o calor fornecido altera apenas a energia interna; a relação entre calor e variação de temperatura é dada por C_{v,m}.

Passo 3

Isolando \Delta T na fórmula:
\Delta T = \frac{q_V}{n\,C_{v,m}}.
Substituindo os números dados (todos em unidades compatíveis):
\Delta T = \frac{100\\ \mathrm{J}}{1{,}00\\ \mathrm{mol}\times 42{,}89\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}}.

Passo 4

Fazendo a conta e verificando unidades (para ver que dá Kelvin):
  • Unidades: \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}})=\mathrm{K}. Ótimo.
  • Cálculo numérico:
\Delta T = \frac{100}{42{,}89}=2{,}3326\ldots\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma consistente com os algarismos significativos dos dados ( 1{,}00 mol tem 3 algarismos significativos; 100\\ \mathrm{J} pode ser interpretado com 3 algarismos; 42{,}89 tem 4), é razoável apresentar a variação com 3 algarismos significativos:
\Delta T \approx 2{,}33\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Interpretação rápida e encorajamento: o sinal positivo significa que a temperatura aumentou em cerca de 2{,}33\\ \mathrm{K}. Não é muito — metanol tem capacidade calorífica relativamente grande por mol, por isso uma entrada de 100\\ \mathrm{J} só eleva a temperatura alguns graus. Bom trabalho — já entendeu a ideia central: para processos a volume constante use q_V=nC_{v,m}\Delta T!

Resposta

2{,}33 K

Exercícios relacionados