Dado a matriz:
M=\left(\begin{array}{cc} 4 & -2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)
em que:
  • O termo 4 indica um forte crescimento natural das presas.
  • O termo - 2 mostra que o aumento dos predadores reduz as formas equivalentes dos domínios de presas.
  • O termo 0 indica que as presas não influenciam diretamente a mortalidade dos predadores.
  • O termo 1 representa um crescimento mais lento dos predadores quando há disponibilidade de presas.
    (a) Calcule o polinômio característico e os autovalores da matriz M.
    (b) Para cada autovalor, determine o autoespaço associado.
    (c) Interprete de forma simples os autovalores: valores positivos indicam que a população tende a crescer em determinada direção, enquanto valores negativos indicariam uma tendência ao decaimento.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\begin{pmatrix}4 & -2 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}
e pede: (a) o polinômio característico e os autovalores, (b) para cada autovalor o autoespaço, (c) interpretação simples dos autovalores. Para resolver isso vamos usar a definição do polinômio característico
p(\lambda)=\det(M-\lambda I)
e depois resolver (M-\lambda I)v=0 para encontrar os autoespaços.]

Passo 2

Como M é triangular, seu determinante é o produto dos termos diagonais. Então
p(\lambda)=\det\bigl(M-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}4-\lambda & -2 \\[3pt] 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda).
Os autovalores são as raízes de p(\lambda)=0, ou seja
\lambda_1=4 \quad\text{e}\quad \lambda_2=1.]

Passo 3

Para \lambda_1=4, calcule
M-4I =\begin{pmatrix}4-4 & -2 \\[3pt] 0 & 1-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -2 \\[3pt] 0 & -3\end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}0 & -2 \\\\ 0 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} -2y=0\implies y=0 e x livre. Logo
E_{4}=\bigl\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\bigr\} =\operatorname{Span}\{(1,0)\}.
Para \lambda_2=1, calcule
M-I =\begin{pmatrix}4-1 & -2 \\[3pt] 0 & 1-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -2 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Resolvendo 3x-2y=0\implies x=\tfrac{2}{3}y, escolhemos y=3 para evitar frações e obtemos o vetor (2,3). Assim
E_{1}=\bigl\{(2t,3t)\mid t\in\mathbb{R}\bigr\} =\operatorname{Span}\{(2,3)\}.]

Passo 4

Como ambos os autovalores são positivos, não há modos que decaiam. O autovalor \lambda_1=4 indica um crescimento forte na direção do eixo x (as presas sozinhas crescem rápido). O autovalor \lambda_2=1 indica um crescimento mais lento, mas ainda estável, na direção mista (2,3) (predadores e presas atuando juntos).

Resposta

(a)
p(\lambda)=(4-\lambda)(1-\lambda),
autovalores \lambda=4 e \lambda=1.
(b)
E_{4}=\operatorname{Span}\{(1,0)\}, \quad E_{1}=\operatorname{Span}\{(2,3)\}.
(c)
Ambos positivos: direção (1,0) cresce forte (pre­sa­solte­iras), direção (2,3) cresce mais devagar (predado r+presa), sem decaimento.

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