O termo 4 indica um forte crescimento natural das presas.
O termo - 2 mostra que o aumento dos predadores reduz as formas equivalentes dos domínios de presas.
O termo 0 indica que as presas não influenciam diretamente a mortalidade dos predadores.
O termo 1 representa um crescimento mais lento dos predadores quando há disponibilidade de presas.
(a) Calcule o polinômio característico e os autovalores da matriz M.
(b) Para cada autovalor, determine o autoespaço associado.
(c) Interprete de forma simples os autovalores: valores positivos indicam que a população tende a crescer em determinada direção, enquanto valores negativos indicariam uma tendência ao decaimento.
e pede: (a) o polinômio característico e os autovalores, (b) para cada autovalor o autoespaço, (c) interpretação simples dos autovalores. Para resolver isso vamos usar a definição do polinômio característico
p(\lambda)=\det(M-\lambda I)
e depois resolver (M-\lambda I)v=0 para encontrar os autoespaços.]
Passo 2
Como M é triangular, seu determinante é o produto dos termos diagonais. Então
Resolvendo \begin{pmatrix}0 & -2 \\\\ 0 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} dá -2y=0\implies y=0 e x livre. Logo
Como ambos os autovalores são positivos, não há modos que decaiam. O autovalor \lambda_1=4 indica um crescimento forte na direção do eixo x (as presas sozinhas crescem rápido). O autovalor \lambda_2=1 indica um crescimento mais lento, mas ainda estável, na direção mista (2,3) (predadores e presas atuando juntos).