Seja V=\left\{A \in \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) ; A=-A^{T}\right\}.
a) ( 1 ponto) Mostre que V é subespaço vetorial de \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}).
b) ( 1 ponto) Encontre uma base para V e determine sua dimensão.
Passo 1
O enunciado define o conjunto \displaystyle V=\{A\in\mathcal M_{3\times3}(\mathbb R)\mid A=-A^T\},
ou seja, todas as matrizes 3\times3 reais que são iguais ao negativo de sua transposta (matrizes antissimétricas ou skew‐simétricas).
Precisamos mostrar duas coisas:
Que V é subespaço vetorial de \mathcal M_{3\times3}(\mathbb R).
Encontrar uma base de V e sua dimensão.
Passo 2
Para provar que V é subespaço vetorial, checamos três propriedades:
Não vazio: a matriz zero O satisfaz
O^T = O = -\,O,
logo O\in V.
2. Fechamento em adição: se A,B\in V então
(A+B)^T = A^T + B^T = -A + (-B) = -(A+B),
logo A+B\in V.
3. Fechamento em multiplicação por escalar: se A\in V e c\in\mathbb R então
(cA)^T = c\,A^T = c(-A) = -(cA),
logo cA\in V.
Assim, V é subespaço de \mathcal M_{3\times3}(\mathbb R).
Passo 3
Toda matriz A\in V tem obrigatoriamente zeros na diagonal e entradas opostas nas posições simétricas. Podemos escrever