Seja V=\left\{A \in \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) ; A=-A^{T}\right\}.
a) ( 1 ponto) Mostre que V é subespaço vetorial de \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}).
b) ( 1 ponto) Encontre uma base para V e determine sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define o conjunto \displaystyle V=\{A\in\mathcal M_{3\times3}(\mathbb R)\mid A=-A^T\},
ou seja, todas as matrizes 3\times3 reais que são iguais ao negativo de sua transposta (matrizes antissimétricas ou skew‐simétricas).
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Que V é subespaço vetorial de \mathcal M_{3\times3}(\mathbb R).
  2. Encontrar uma base de V e sua dimensão.

Passo 2

Para provar que V é subespaço vetorial, checamos três propriedades:
  1. Não vazio: a matriz zero O satisfaz
O^T = O = -\,O,
logo O\in V.
2. Fechamento em adição: se A,B\in V então
(A+B)^T = A^T + B^T = -A + (-B) = -(A+B),
logo A+B\in V.
3. Fechamento em multiplicação por escalar: se A\in V e c\in\mathbb R então
(cA)^T = c\,A^T = c(-A) = -(cA),
logo cA\in V.
Assim, V é subespaço de \mathcal M_{3\times3}(\mathbb R).

Passo 3

Toda matriz A\in V tem obrigatoriamente zeros na diagonal e entradas opostas nas posições simétricas. Podemos escrever
A=\begin{pmatrix} 0 & x & y\\\\ -x & 0 & z\\\\ -y & -z & 0 \end{pmatrix}
com x,y,z\in\mathbb R. Daí vemos que
A = x\,E_1 \;+\; y\,E_2 \;+\; z\,E_3
onde as matrizes
E_1 = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
E_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}
E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}
são linearmente independentes. Portanto \{E_1,E_2,E_3\} é uma base de V e
\dim(V)=3.

Resposta

a) V é subespaço vetorial de \mathcal M_{3\times3}(\mathbb R).
b) Uma base de V é
E_1 = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix},
e \dim(V)=3.

Exercícios relacionados