Faça o que se pede: a)(1 ponto) Verifique se matriz abaixo é inversivel
A=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & 5 & 0 & 1 \\\\ 4 & 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
b) ( 0,5 ponto) Através da resposta obtida em a), responda se o sistema linear A x=b, onde b=(1,3,-1,0)^{T}, é possivel e determinado ou não. Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 5 & 0 & 1\\\\ 4 & 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e o vetor b=(1,3,-1,0)^T. Na alínea (a) precisamos verificar se A é inversível, ou seja, se \det(A)\neq0. Na alínea (b) vamos usar o resultado da alínea (a) para decidir se o sistema Ax=b é possível e determinado.

Passo 2

Para calcular \det(A) expandimos ao longo da primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}5&0&1\\\ 2&1&0\\\ 1&1&1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}0&5&1\\\ 4&2&0\\\ 3&1&1\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}0&5&0\\\ 4&2&1\\\ 3&1&1\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}5&0&1\\\ 2&1&0\\\ 1&1&1\end{pmatrix} =5\,(1\cdot1-0\cdot1)+1\,(2\cdot1-1\cdot1)=5+1=6,
\det\begin{pmatrix}0&5&1\\\ 4&2&0\\\ 3&1&1\end{pmatrix} =0-5\,(4\cdot1-0\cdot3)+1\,(4\cdot1-2\cdot3)=-20-2=-22,
\det\begin{pmatrix}0&5&0\\\ 4&2&1\\\ 3&1&1\end{pmatrix} =0-5\,(4\cdot1-1\cdot3)=-5\cdot1=-5.
Logo
\det(A)=1\cdot6+2\cdot(-22)-3\cdot(-5)=6-44+15=-23.

Passo 3

Como \det(A)=-23\neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 4

Se A é inversível, então o sistema linear Ax=b tem solução única para qualquer vetor b. Logo, o sistema é possível (existe solução) e determinado (única).

Resposta

(a) A matriz A é inversível, pois \det(A)=-23\neq0.
(b) O sistema Ax=b é possível e determinado, pois A inversível garante existência e unicidade da solução.

Exercícios relacionados