Dado o modelo de espaço de estados em [Given the state-space model in] (4):
l [l dotx1(t) dotx2(t) ]=[cc 0 & 1 -5 & -2 ][l x1(t) x2(t) ]+[l 0 2 ] u(t) y(t) =[ll 0 & 1 ][l x1(t) x2(t) ]+u(t)
Encontre a evolução forçada de estado e saída como resposta da entrada [Find the state and output forced evolution as response of the input] u(t)=e^-3 t de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um modelo de espaço de estados, que é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando equações diferenciais. A matéria que vamos usar aqui é Espaço de Estados e Respostas de Sistemas. Para resolver, vamos precisar das matrizes , , , do sistema, junto com a entrada .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes do modelo:
A = 0 & 1 -5 & -2 , B = 0 2 , C = 0 & 1 , D = 1
Essas matrizes definem como o estado do sistema evolui ao longo do tempo e como a saída é calculada a partir do estado.

Passo 3

A entrada dada é . Aqui, é a função delta de Dirac deslocada, que essencialmente “bate” no tempo . Porém, geralmente consideramos , então vamos interpretar isso como , ou seja, um impulso em .

Passo 4

Para encontrar a evolução forçada do estado x(t) = e^Atx(0) + integral0^t e^A(t-tau)B u(tau) dtau e da saída xforçada(t) = integral0^t e^A(t-tau)B e^-3 tau de, usamos a solução da equação de estado considerando a entrada. A solução geral da equação de estado é:
Como estamos interessados na resposta forçada, ignoramos a parte inicial e focamos na integral:
ç

Passo 5

A propriedade da função delta integral0^t f(tau) de= 1 nos diz que:
xforçada(t) = e^A(t-1)B e^-3(1) para t >= 1
Aplicando isso, temos:
xforçada(t) = e^A(t-1)B e^-3 ç
Calculando y(t) = C xforçada(t) + D u(t) = C e^A(t-1)B e^-3 + e^-3 t de:
ç
A saída é dada por:
ç

Resposta

A evolução forçada do estado e da saída do sistema em resposta à entrada xforçada(t) = e^-3 e^A(t-1)B para t >= 1 é:
y(t) = C e^-3 e^A(t-1)B + e^-3 t deç

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