Ao fim de estudar o efeito dos zeros na resposta de um sistema, considere a função de transferência dada na equação (1) [In order to study the effect of zeros in response of a system, consider the transfer function given in equation (1)].
G(s)=alpha s+12 s^2+3 s+1
Faça o seguinte [Do the following]:
Discuta como o sistema varia sua resposta para os diferentes valores de alpha [Discuss how the system varies its response for the different values of alpha].

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente analisar como a resposta do sistema muda conforme os diferentes valores de G(s) = alpha s + 12 s^2 + 3 s + 1 na função de transferência:
Vamos usar conceitos de controle de sistemas, especificamente sobre zeros e como eles influenciam a resposta do sistema. Para isso, vamos precisar encontrar os zeros da função de transferência e ver como eles se comportam com diferentes .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são zeros em uma função de transferência. Zeros são os valores de que anulam o numerador da função de transferência, ou seja, fazem . Eles impactam como o sistema responde a entradas, como velocidade e overshoot.

Passo 3

Vamos encontrar os zeros da função de transferência alpha s + 1 = 0 . Para isso, igualamos o numerador a zero:
s = -1alpha
Resolvendo para :
Então, o zero está localizado em .

Passo 4

Agora que sabemos onde está o zero, vamos ver como ele varia com . O valor de afeta diretamente a localização do zero:
  • Se , o zero está no semiplano esquerdo ( negativo), o que geralmente contribui para uma resposta mais estável.
  • Se aumenta, o zero se aproxima de zero, influenciando a rapidez da resposta.
  • Se diminui (mas ainda positivo), o zero se afasta de zero, podendo tornar a resposta mais lenta.

Passo 5

Além disso, o zero pode afetar características como o overshoot e o tempo de assentamento da resposta do sistema. Por exemplo:
  • Um zero próximo à origem (quando é grande) pode aumentar o overshoot, fazendo a resposta “ultrapassar” o valor final antes de estabilizar.
  • Um zero mais distante da origem (quando é pequeno) pode reduzir o overshoot, tornando a resposta mais amortecida.

Passo 6

Vamos resumir:
  • Valores altos de : Zero perto de , possivelmente aumentando o overshoot e tornando a resposta mais rápida.
  • Valores baixos de : Zero mais à esquerda, possivelmente reduzindo o overshoot e tornando a resposta mais lenta e estável.

Resposta

Conforme varia, o zero da função de transferência se desloca ao longo do eixo real negativo. Valores maiores de posicionam o zero mais próximo da origem, o que pode aumentar o overshoot e acelerar a resposta do sistema. Já valores menores de afastam o zero da origem, resultando em uma resposta mais amortecida e estável. Assim, a variação de impacta diretamente no comportamento dinâmico do sistema, influenciando sua rapidez e a presença de overshoot na resposta.

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