Considere o modelo de entrada-saída na equação [Consider the input-output model in equation] (2):
Encontre a resposta forçada do sistema sujeito a uma entrada em degrau unitário [Find the forced response of the system subject to a unit step input].
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a saída
com a entrada
. O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a resposta forçada de um sistema quando a entrada é um degrau unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a resposta forçada. Em sistemas lineares, a resposta total de
é a soma da resposta livre (transiente) e da resposta forçada (estacionária). A resposta forçada é a parte da solução que depende apenas da entrada
, sem considerar as condições iniciais.
Passo 3
O tipo de entrada que temos é um degrau unitário, que pode ser representado matematicamente como:
Isso significa que a entrada
sobe de 0 para 1 de forma instantânea em
e fica constante em 1 para todo
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é encontrar a resposta forçada
quando
é um degrau unitário.
Passo 5
Para encontrar a resposta forçada, vamos assumir uma solução particular
que tem a mesma forma da entrada. Como a entrada é um degrau, esperamos que a resposta forçada seja uma constante. Então, vamos assumir:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação diferencial. Como
é constante, suas derivadas são zero:
Simplificando:
Passo 7
Então, a resposta forçada
para a entrada em degrau unitário é:
Resposta
A resposta forçada do sistema para uma entrada em degrau unitário é
.