Considere o modelo de entrada-saída na equação [Consider the input-output model in equation] (2):
d^2 y(t)d t^2+2 d y(t)d t+y(t)=4 d^2 u(t)d t+15 d u(t)d t+19 u(t)
Encontre a resposta forçada do sistema sujeito a uma entrada em degrau unitário [Find the forced response of the system subject to a unit step input].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a saída com a entrada . O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a resposta forçada de um sistema quando a entrada é um degrau unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a resposta forçada. Em sistemas lineares, a resposta total de é a soma da resposta livre (transiente) e da resposta forçada (estacionária). A resposta forçada é a parte da solução que depende apenas da entrada , sem considerar as condições iniciais.

Passo 3

O tipo de entrada que temos é um degrau unitário, que pode ser representado matematicamente como:
u(t) = 0, & t < 0 1, & t >= 0
Isso significa que a entrada sobe de 0 para 1 de forma instantânea em e fica constante em 1 para todo .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a equação diferencial dada:
d^2 y(t)d t^2 + 2 d y(t)d t + y(t) = 4 d^2 u(t)d t^2 + 15 d u(t)d t + 19 u(t)
Nosso objetivo é encontrar a resposta forçada quando é um degrau unitário.

Passo 5

Para encontrar a resposta forçada, vamos assumir uma solução particular yp(t) = K que tem a mesma forma da entrada. Como a entrada é um degrau, esperamos que a resposta forçada seja uma constante. Então, vamos assumir:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Agora, substituímos 0 + 2 cdot 0 + K = 4 cdot 0 + 15 cdot 0 + 19 cdot 1 e suas derivadas na equação diferencial. Como K = 19 é constante, suas derivadas são zero:
Simplificando:

Passo 7

Então, a resposta forçada yp(t) = 19 para a entrada em degrau unitário é:

Resposta

A resposta forçada do sistema para uma entrada em degrau unitário é .

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