Um dado motor de indução trifásico com 6 polos é alimentado com uma tensão de linha de 220 V (RMS). O motor consome 6 kW e o fator de potência é 0,75 . Um dispositivo chamado inversor de frequência é usado para proporcionar ao motor diferentes valores de frequência da fonte de tensão. Considerando que o motor opera com 3 \% de fator de escorregamento, determine:
a. A corrente de linha.
b. A frequência da tensão na saída do inversor para uma rotação de 2000 rpm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Motor trifásico, número de polos: 6.
    • Tensão de linha (RMS): V_L = 220\\ \text{V}.
    • Potência ativa consumida: P = 6\\ \text{kW} = 6000\\ \text{W}.
    • Fator de potência: \text{pf} = 0{,}75.
    • Fator de escorregamento (slip): s = 3\% = 0{,}03.
    • Rotação do rotor (velocidade mecânica): N_r = 2000\\ \text{rpm}.
  • O enunciado pede:
    a) Determinar a corrente de linha I_L.
    b) Determinar a frequência da tensão na saída do inversor (ou seja, a frequência de alimentação f) para que o motor gire a 2000\\ \text{rpm}.

Passo 2

Entendendo a relação entre potência, tensão e corrente em sistema trifásico (a fórmula que vamos usar para achar I_L).
  • Em um sistema trifásico equilibrado, a potência aparente S (em volt-ampere trifásico) é dada por:
S = \sqrt{3}\,V_L I_L,
onde:
  • \sqrt{3} vem da geometria das fases (aproximadamente 1{,}732),
  • V_L é a tensão de linha (tensão entre fases),
  • I_L é a corrente de linha.
  • A potência ativa P (potência real, em watts) está relacionada com S pelo fator de potência:
P = S \cdot \text{pf}.
  • Juntando as duas fórmulas, obtemos:
P = \sqrt{3}\,V_L I_L \cdot \text{pf}.
  • Desse modo, isolamos I_L:
I_L = \frac{P}{\sqrt{3}\,V_L \,\text{pf}}.
Vou explicar cada termo de forma bem direta:
  • P é a potência útil que o motor consome (6000 W).
  • \sqrt{3}\,V_L I_L é a potência aparente em trifásico; ela representa a combinação das três fases.
  • \text{pf} corrige a potência aparente para a potência real consumida (por perdas reativas e defasagem entre tensão e corrente).

Passo 3

Cálculo numérico da corrente de linha usando a fórmula obtida.
  • Substituindo os valores:
I_L = \frac{6000}{\sqrt{3}\cdot 220 \cdot 0{,}75}.
  • Primeiro calcule 220\cdot 0{,}75:
220\cdot 0{,}75 = 165.
  • Agora calcule \sqrt{3}\cdot 165. Usando \sqrt{3}\approx 1{,}73205:
\sqrt{3}\cdot 165 \approx 1{,}73205 \cdot 165 \approx 285{,}789.
  • Finalmente:
I_L \approx \frac{6000}{285{,}789} \approx 21{,}006\\ \text{A}.
  • Arredondando com dois algarismos significativos apropriados para corrente elétrica na prática:
I_L \approx 21{,}0\\ \text{A}.

Passo 4

Agora vamos à parte (b): como obter a frequência f a partir da rotação e do número de polos, levando em conta o escorregamento.
  • Conceitos necessários:
    • Velocidade síncrona N_s (em rpm) é a velocidade do campo girante do estator, dada por:
    N_s = \frac{120\,f}{P},onde:
    • f é a frequência elétrica em Hz,
    • P é o número de polos do motor (aqui P=6).
    • O escorregamento s descreve a diferença relativa entre N_s e a velocidade do rotor N_r:
    s = \frac{N_s - N_r}{N_s}.
    • Isolando N_s na expressão do escorregamento:
    N_s = \frac{N_r}{1 - s}.Isso faz sentido: se o escorregamento é 0 (motor síncrono ideal), então N_s = N_r; para s>0, N_s é um pouco maior que N_r.

Passo 5

Cálculo numérico da velocidade síncrona N_s.
  • Substituindo N_r = 2000\\ \text{rpm} e s = 0{,}03 em
N_s = \frac{N_r}{1 - s},
temos:
N_s = \frac{2000}{1 - 0{,}03} = \frac{2000}{0{,}97}.
  • Calculando:
N_s \approx 2061{,}8557\\ \text{rpm}.
(Arredondando, N_s \approx 2061{,}9\\ \text{rpm}.)

Passo 6

Agora encontramos a frequência f usando a relação entre N_s, f e o número de polos P.
  • A relação é
N_s = \frac{120\,f}{P}.
  • Isolando f:
f = \frac{N_s\,P}{120}.
  • Substituindo N_s \approx 2061{,}8557\\ \text{rpm} e P=6:
f \approx \frac{2061{,}8557 \cdot 6}{120}.
  • Calcule:
\frac{6}{120} = 0{,}05,
então
f \approx 2061{,}8557 \cdot 0{,}05 \approx 103{,}0928\\ \text{Hz}.
  • Arredondando de forma prática:
f \approx 103{,}1\\ \text{Hz}.

Passo 7

Resumo interpretativo curto (para você fixar a ideia):
  • A corrente de linha foi obtida a partir da potência real P usando a relação trifásica P=\sqrt{3}V_L I_L \,\text{pf}. Como o fator de potência é menor que 1, a corrente é maior do que seria no caso puramente resistivo.
  • A frequência necessária foi obtida calculando primeiro a velocidade síncrona do campo (corrigida pelo escorregamento) e depois usando a relação entre velocidade síncrona, número de polos e frequência.

Resposta

I_L \approx 21{,}0\\ \text{A}
f \approx 103{,}1\\ \text{Hz}

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