Questăo 01) Qual a magnitude, direçăo e sentido da força que uma carga de +3 C movimentando-se a 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sofre ao passar por uma regiăo de campo magnético de 5T que está alinhado com o eixo x positivo. Considerando que: (a) a carga esteja se movendo ao longo da direção do elxo y positivo; (b) a carga esteja se movendo ao longo da direção do eixo x positivo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei todos estes números do enunciado):
    • Carga: q=+3\\ \mathrm{C}.
    • Velocidade escalar: v=4\\ \mathrm{m/s}.
    • Campo magnético: B=5\\ \mathrm{T}, alinhado com o eixo x positivo.
    • Dois casos pedidos:
      1. (a) a carga move-se ao longo do eixo y positivo.
      2. (b) a carga move-se ao longo do eixo x positivo.
  • Perguntas: para cada caso determinar a magnitude, a direção e o sentido da força magnética que a carga sofre ao passar pela região do campo.

Passo 2

A fórmula que relaciona a força magnética a uma carga em movimento é a regra de Lorentz (apenas a parte magnética, já que não foi dado campo elétrico):
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Explicando:
  • \vec{F} é a força magnética (vetor, em newtons).
  • q é a carga (em coulombs).
  • \vec{v} é o vetor velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • \vec{B} é o vetor campo magnético (em tesla).
    O produto vetorial \vec{v}\times\vec{B} tem duas propriedades importantes:
  • A magnitude é |\vec{v}\times\vec{B}|=v\,B\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}.
  • A direção é perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B}, determinada pela regra da mão direita (ou pelas relações entre os versores unitários \hat{i},\hat{j},\hat{k}): \hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}, \hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}, etc.

Passo 3

Vou fixar a notação dos vetores nas componentes (usando os versores do sistema cartesiano):
  • Versores: \hat{i} para x, \hat{j} para y, \hat{k} para z.
  • Relembrando as regras úteis: \hat{i}\times\hat{j}=\hat{k},\qquad \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i},\qquad \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j},e as permutações trocadas invertem o sinal, por exemplo \hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}.

Passo 4

  • Escrevo os vetores na forma componente (peguei a direção do enunciado: v ao longo de +y, B ao longo de +x): \vec{v}=4\,\hat{j}\quad(\mathrm{m/s}),\qquad \vec{B}=5\,\hat{i}\quad(\mathrm{T}).
  • Calculo o produto vetorial \vec{v}\times\vec{B}: \vec{v}\times\vec{B}=(4\,\hat{j})\times(5\,\hat{i})=20\;(\hat{j}\times\hat{i})=20\;(-\hat{k})=-20\,\hat{k}.
  • Agora multiplico por q para obter \vec{F}: \vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B})=3\cdot(-20\,\hat{k})=-60\,\hat{k}\quad(\mathrm{N}).
  • Magnitude da força: |\vec{F}|=60\\ \mathrm{N}.
  • Direção e sentido: o vetor é -\hat{k}, isto é, aponta para o sentido negativo do eixo z. Em palavras simples: a força é perpendicular aos eixos x e y e aponta no sentido negativo de z (pense: se x para a direita e y para cima, então a força sai para dentro da página, direção -z). Como a carga é positiva, não houve inversão de sinal extra — o sinal negativo veio do produto vetorial \hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}.

Passo 5

  • Vetores: \vec{v}=4\,\hat{i},\qquad \vec{B}=5\,\hat{i}.
  • Como \vec{v} e \vec{B} são paralelos, o ângulo entre eles é \theta=0 e \sin\theta=0. O produto vetorial fica \vec{v}\times\vec{B}=0,porque \hat{i}\times\hat{i}=0.
  • Logo a força é \vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B})=q\cdot\vec{0}=\vec{0}.
  • Magnitude: |\vec{F}|=0\\ \mathrm{N}. Não há direção preferencial nem sentido porque a força é nula. Físicamente: quando a velocidade é paralela ao campo magnético, a força magnética sobre uma carga é zero.

Resposta

(a) |\vec{F}|=60\\ \mathrm{N}; direção: eixo z; sentido: negativo do eixo z (vetor \vec{F}=-60\,\hat{k}).
(b) |\vec{F}|=0\\ \mathrm{N}; não há direção/sentido (força nula).

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