É dado um movimento cuja função horária é
, sendo que
é o espaço em centímetros e t é o tempo em segundos. Determine:
a) o espaço inicial;
b) a velocidade escalar inicial;
c) a aceleração escalar;
d) a função da velocidade escalar;
e) o instante em que o móvel muda de sentido.
a) o espaço inicial;
b) a velocidade escalar inicial;
c) a aceleração escalar;
d) a função da velocidade escalar;
e) o instante em que o móvel muda de sentido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um movimento descrito pela função horária $ S = 0,25 + 0,75t - t^{2} $, onde $ S $ é o espaço em centímetros e $ t $ é o tempo em segundos. O que a gente precisa fazer é resolver cinco partes desse exercício que envolvem conceitos de cinemática, como posição, velocidade e aceleração. Vamos usar derivadas para achar essas informações.
Passo 2
a) Espaço inicial
O espaço inicial é o valor da posição $ S $ quando o tempo $ t = 0 $. Então, basta substituir $ t = 0 $ na função $ S $.
Passo 3
b) Velocidade escalar inicial
Para achar a velocidade, precisamos derivar a função posição $ S(t) $ em relação ao tempo $ t $. A derivada de $ S(t) $ é a função velocidade $ V(t) $.
Agora, a velocidade inicial é $ V(0) $:
Passo 4
c) Aceleração escalar
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição $ S(t) $.
Como a aceleração é constante, não depende do tempo.
Passo 5
d) Função da velocidade escalar
Já derivamos anteriormente a função velocidade:
Essa é a expressão que nos dá a velocidade em qualquer instante de tempo $ t $.
Passo 6
e) Instante em que o móvel muda de sentido
O móvel muda de sentido quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando $ V(t) = 0 $. Vamos igualar a função velocidade a zero e resolver para $ t $:
Resposta
a) Espaço inicial: $ 0,25 cm $
b) Velocidade escalar inicial: $ 0,75 cm/s $
c) Aceleração escalar: $ -2 cm/s^{2} $
d) Função da velocidade escalar: $ V(t) = 0,75 - 2t $
e) O móvel muda de sentido no instante $ t = 0,375 segundos $