em série complexa de Fourier em ( 0,2 \pi ), onde h é uma constante. Após fazer isso, transforme a série em série real, e mostre que
f(x)=\frac{h}{2 \pi}+\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 n \pi}(\operatorname{sen}(n(h-x))+\operatorname{sen}(n x))
Passo 1
O enunciado nos dá a função periódica (período 2\pi\), definida em \((0,2\pi)\))
\[f(x)= \begin{cases}1 & (0 \leq x<h) \\[4pt] 0 & (h<x<2 \pi)\end{cases}
onde h\] é uma constante com \(0<h<2\pi. O que o problema pede:
Desenvolver f em série complexa de Fourier em (0,2\pi).
Transformar essa série complexa em série real e mostrar que
f(x)=\frac{h}{2 \pi}+\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 n \pi}\big(\operatorname{sen}(n(h-x))+\operatorname{sen}(n x)\big).
Informações relevantes dadas:
Intervalo fundamental: (0,2\pi) (período 2\pi).
Função é igual a 1 no segmento [0,h) e 0 em (h,2\pi).
É necessário tratar o coeficiente n=0 separadamente (média) e obter os coeficientes complexos c_n para n\ne0.]
Passo 2
Definição e cálculo dos coeficientes complexos. Lembrete (fórmula que usaremos):
A série complexa de Fourier de período 2\pi tem a forma
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n x},
onde os coeficientes são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\,e^{-i n t}\,dt\qquad(\text{para todo }n\in\mathbb{Z}).
Agora calculamos c_n usando que f(t)=1 em [0,h] e f(t)=0 em (h,2\pi).
Expliquei: c_0 é a média (valor médio) da função no período; por isso aparece \frac{h}{2\pi}.
Passo 3
Cálculo de c_n para n\ne0. Use a integral restrita a [0,h]:
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{h} e^{-i n t}\,dt\qquad(n\ne0).
Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{h} e^{-i n t}\,dt=\left[\frac{e^{-i n t}}{-i n}\right]_{0}^{h}=\frac{e^{-i n h}-1}{-i n}=\frac{1-e^{-i n h}}{i n}.
Portanto
c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1-e^{-i n h}}{i n}=\frac{1-e^{-i n h}}{2\pi i n},\qquad n\ne0.
Comentário didático: a estrutura 1/(i n) aparece sempre que integramos uma exponencial e é a razão pela qual os coeficientes decaem como 1/n (o que garante convergência razoável).
Passo 4
Escrevendo a série complexa com os coeficientes obtidos. Substituindo c_0 e c_n em
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n x},
obtemos (separando o termo n=0):
f(x)=\frac{h}{2\pi}+\sum_{\substack{n=-\infty\\\ n\ne0}}^{\infty}\frac{1-e^{-i n h}}{2\pi i n}\,e^{i n x}.
Isso já é a série complexa de Fourier. Observação prática: a soma exclui n=0 pois esse caso foi tratado por c_0.
Passo 5
Estratégia para passar da forma complexa para a forma real. Ideia: combinar termos com índices n e -n (pares conjugados) para obter senos e cossenos reais. Vou calcular explicitamente a contribuição do par (n,-n) para n>0. Para n>0 temos:
c_n e^{i n x}+c_{-n} e^{-i n x}.
Usando a expressão de c_n:
c_n e^{i n x}=\frac{1-e^{-i n h}}{2\pi i n}\,e^{i n x}=\frac{1}{2\pi i n}\big(e^{i n x}-e^{i n(x-h)}\big).
Agora calcule c_{-n}. Substituindo -n na fórmula:
c_{-n}=\frac{1-e^{i n h}}{2\pi i(-n)}=\frac{1-e^{i n h}}{-2\pi i n}.
Multiplicando por e^{-i n x}:
c_{-n}e^{-i n x}=\frac{1}{-2\pi i n}\big(e^{-i n x}-e^{-i n(x-h)}\big).
Passo 6
Somando as duas contribuições e simplificando com identidades exponenciais e trigonométricas. Somando:
\begin{aligned} c_n e^{i n x}+c_{-n} e^{-i n x} &=\frac{1}{2\pi i n}\big(e^{i n x}-e^{i n(x-h)}\big)-\frac{1}{2\pi i n}\big(e^{-i n x}-e^{-i n(x-h)}\big)\\[4pt] &=\frac{1}{2\pi i n}\Big( e^{i n x}-e^{-i n x}-e^{i n(x-h)}+e^{-i n(x-h)}\Big). \end{aligned}
Agora uso a identidade e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\operatorname{sen}(\theta) (aqui \operatorname{sen} é o seno):
e^{i n x}-e^{-i n x}=2i\operatorname{sen}(n x),\qquad - e^{i n(x-h)}+e^{-i n(x-h)}= -2i\operatorname{sen}(n(x-h)).
Substituindo:
c_n e^{i n x}+c_{-n} e^{-i n x} =\frac{1}{2\pi i n}\big(2i\operatorname{sen}(n x)-2i\operatorname{sen}(n(x-h))\big).
Os fatores 2i cancelam com 1/(2\pi i n), dando
c_n e^{i n x}+c_{-n} e^{-i n x} =\frac{1}{\pi n}\big(\operatorname{sen}(n x)-\operatorname{sen}(n(x-h))\big).]
Passo 7
Reescrever \operatorname{sen}(n(x-h)) de forma conveniente. Note que
Esta é a série real equivalente (escrita como soma sobre n\ge1). Expliquei: cada par (n,-n) deu uma função real (soma de senos) e a soma sobre todos os pares positivos recupera a série total menos o termo n=0 que é c_0.
Passo 9
Mostrar a equivalência com a forma pedida que tem soma de -\infty a \infty com fator 1/(2\pi n). Observação sobre simetria: para k\ge1 a contribuição do índice -k na expressão
Incluindo o termo n=0 separado (que é \dfrac{h}{2\pi}) obtemos exatamente a forma pedida:
f(x)=\frac{h}{2 \pi}+\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 n \pi}\big(\operatorname{sen}(n(h-x))+\operatorname{sen}(n x)\big),
onde, como é habitual, o termo n=0 não está presente na soma por causa da divisão por n (ou pode entender-se a soma como sobre todos os inteiros não nulos).
Passo 10
Comentário final de verificação e convergência. Explicando de forma suave: a série obtida converge ponto a ponto para f(x) em todos os x onde f é contínua; nos pontos de descontinuidade (por exemplo x=h e x=0 modulo 2\pi) a série converge para a média dos limites laterais (propriedade padrão das séries de Fourier). A demonstração algébrica acima fornece a transformação explícita da forma complexa para a forma real com senos.
Resposta
f(x)=\frac{h}{2 \pi}+\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 n \pi}\big(\operatorname{sen}(n(h-x))+\operatorname{sen}(n x)\big)