Dado
, verifique que os inteiros
são todos compostos.
Conclua que dado
existem primos consecutivos
(isto é, primos
tais que não existe outro primo
tal que
) que satisfazem
.
Conclua que dado
Passo 1
O enunciado dá um inteiro
com
e pede duas coisas.
Primeira parte: verificar que os inteiros
são todos compostos.
Segunda parte: concluir que, dado
, existem primos consecutivos
(ou seja, não existe outro primo
com
) tais que a diferença entre eles é pelo menos
. (Vou interpretar a desigualdade pedida como
, pois
.)
Passo 2
Vou explicar o que precisamos usar — com calma, como amigo — antes de começar a provar.
Definições / conceitos usados:
- Fatorial: para inteiro
, o fatorial é o produto Em particular . - Divisibilidade: dizemos que um inteiro
divide (escrevemos ) se existe um inteiro tal que . - Número composto: inteiro maior que
que não é primo, ou seja, que tem um divisor próprio maior que e menor que ele mesmo.
Idea básica que vamos usar (sem provar nada profundo): se um inteiro
é divisível por um inteiro
com
, então
é composto — porque
e
são fatores não triviais.
Passo 3
Agora o passo-chave para a primeira parte. Tome qualquer inteiro
com
. Observa que
contém o fator
dentro do produto, então podemos escrever
para algum inteiro
(explicitamente,
). Somando
aos dois lados obtemos
Isto mostra que
divide
, ou em notação,
.
Passo 4
Para concluir que
é composto precisamos checar que o divisor
é próprio, isto é,
. Já sabemos
. E
porque
para
, logo
é estritamente maior que
. Portanto
é um divisor não-trivial de
, o que implica que
é composto.
Esse argumento vale para todo
com
. Portanto todos os números
são compostos, como o enunciado pedia. (Pequena observação extra: o mesmo raciocínio funciona também para
, mostrando que
também é composto, então podemos obter até
inteiros consecutivos compostos — vou usar isso no próximo passo.)
Passo 5
Vou transformar essa propriedade em uma afirmação sobre gaps entre primos (diferenças entre primos consecutivos). Do passo anterior, na verdade obtemos que os números
são todos compostos (são
inteiros consecutivos compostos: de
até
, inclusive). Denotemos esses
inteiros consecutivos por
onde
. Assim há um bloco de
inteiros consecutivos, todos compostos.
Agora, considere os primos imediatamente antes e depois desse bloco. Seja
o maior primo menor que
e seja
o menor primo maior que
. Por definição não existem primos entre
e
(eles são primos consecutivos), e todos os inteiros entre
e
— em particular os
números do bloco — são compostos. A diferença entre esses primos satisfaz
Na verdade, como há exatamente
números entre
e
excluindo as extremidades, uma contagem mais precisa dá
, mas a desigualdade fraca
já basta para o enunciado. Assim concluímos que existem primos consecutivos com diferença pelo menos
.
Resposta
Os inteiros
são todos compostos.
Dado
existem primos consecutivos
tais que
.