Mostre que se p é um primo maior que 3 , então p^{2}+2 é composto. (sugestão: uma possibilidade é escrever p na forma 3 q+r usando o algoritmo da divisão.)

Passo 1

O enunciado dá que p é um número primo tal que p>3. O que se pede é mostrar que o número p^{2}+2 é composto (ou seja, não é primo: tem um divisor inteiro maior que 1 e menor que ele próprio). Informações relevantes: p é primo e maior que 3, logo p é um inteiro positivo e não é divisível por 3.

Passo 2

Vou usar o algoritmo da divisão por 3: para qualquer inteiro p existem inteiros q e r com r\in\{0,1,2\} tais que
p=3q+r.
Aqui q é o quociente e r é o resto da divisão de p por 3. Essa é uma ferramenta básica para estudar restos módulo 3.

Passo 3

Como p é primo e p>3, o resto r não pode ser 0. Explico: se r=0 então 3 divide p, isto é p=3, mas isso contraria p>3. Então restam apenas as duas possibilidades
r=1\quad\text{ou}\quad r=2.

Passo 4

Considere primeiro o caso r=1. Então p=3q+1. Calculo p^{2}+2:
p^{2}+2=(3q+1)^{2}+2.
Desenvolvendo o quadrado:
(3q+1)^{2}=9q^{2}+6q+1,
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p^{2}+2=9q^{2}+6q+1+2=9q^{2}+6q+3.
Factorizando 3 em evidência:
p^{2}+2=3\bigl(3q^{2}+2q+1\bigr).
Portanto, no caso r=1 o número p^{2}+2 é divisível por 3.

Passo 5

Agora o caso r=2. Então p=3q+2. Calculo p^{2}+2:
p^{2}+2=(3q+2)^{2}+2.
Desenvolvendo:
(3q+2)^{2}=9q^{2}+12q+4,
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p^{2}+2=9q^{2}+12q+4+2=9q^{2}+12q+6.
Colocando 3 em evidência:
p^{2}+2=3\bigl(3q^{2}+4q+2\bigr).
Assim, no caso r=2 também p^{2}+2 é divisível por 3.

Passo 6

Dos dois casos possíveis ( r=1 ou r=2) concluímos que sempre existe um inteiro k tal que
p^{2}+2=3k,
ou seja, 3 é um divisor de p^{2}+2.

Passo 7

Para concluir que p^{2}+2 é composto, falta notar que esse número não é igual a 3. Como p>3 temos p^{2}+2>3^{2}+2=11>3. Portanto p^{2}+2 tem um divisor 3 próprio (entre 1 e o próprio número), então p^{2}+2 não é primo — é composto. (Lembrete: “composto” significa um inteiro maior que 1 que tem um divisor inteiro além de 1 e dele mesmo.)

Passo 8

Pequena checagem com exemplos para fixar a intuição: se p=5 temos p^{2}+2=27=3\cdot9; se p=7 temos p^{2}+2=51=3\cdot17. Em ambos os casos o número é divisível por 3 e maior que 3, logo composto.

Resposta

p^{2}+2 é composto.

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