Mostre que se
é um primo maior que 3 , então
é composto. (sugestão: uma possibilidade é escrever
na forma
usando o algoritmo da divisão.)
Passo 1
O enunciado dá que
é um número primo tal que
. O que se pede é mostrar que o número
é composto (ou seja, não é primo: tem um divisor inteiro maior que
e menor que ele próprio). Informações relevantes:
é primo e maior que
, logo
é um inteiro positivo e não é divisível por
.
Passo 2
Vou usar o algoritmo da divisão por
: para qualquer inteiro
existem inteiros
e
com
tais que
Aqui
é o quociente e
é o resto da divisão de
por
. Essa é uma ferramenta básica para estudar restos módulo
.
Passo 3
Como
é primo e
, o resto
não pode ser
. Explico: se
então
divide
, isto é
, mas isso contraria
. Então restam apenas as duas possibilidades
Passo 4
Considere primeiro o caso
. Então
. Calculo
:
Desenvolvendo o quadrado:
logo
Factorizando
em evidência:
Portanto, no caso
o número
é divisível por
.
Passo 5
Agora o caso
. Então
. Calculo
:
Desenvolvendo:
logo
Colocando
em evidência:
Assim, no caso
também
é divisível por
.
Passo 6
Dos dois casos possíveis (
ou
) concluímos que sempre existe um inteiro
tal que
ou seja,
é um divisor de
.
Passo 7
Para concluir que
é composto, falta notar que esse número não é igual a
. Como
temos
. Portanto
tem um divisor
próprio (entre
e o próprio número), então
não é primo — é composto. (Lembrete: “composto” significa um inteiro maior que
que tem um divisor inteiro além de
e dele mesmo.)
Passo 8
Pequena checagem com exemplos para fixar a intuição: se
temos
; se
temos
. Em ambos os casos o número é divisível por
e maior que
, logo composto.