Seja U_{n}=111 \ldots 1 o número formado por n 1 's. Mostre que se U_{n} é primo então n é primo. (dica: escreva explicitamente a expansão de U_{n} na base 10 e use exercícios da Lista 1.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a afirmação: “se U_{n} é primo então n é primo”.\n
Informações dadas que vamos usar (sem resolver ainda):\n
  • U_{n} é o número formado por n algarismos 1 na base 10 (por exemplo, U_{3}=111).\n
  • O enunciado sugere escrever explicitamente a expansão de U_{n} na base 10 (ou seja, como soma de potências de 10) e usar exercícios básicos sobre soma de progressão geométrica e fatoração de diferenças de potências.

Passo 2

Escrevendo U_{n} como soma das potências de 10: cada algarismo 1 corresponde a um termo 10^{k}. Assim
U_{n}=1+10+10^{2}+\cdots+10^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}10^{k}.
Aqui eu mostro e explico a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita, porque ela é a chave: para qualquer número real r\neq1 e inteiro m\ge1 temos
\sum_{k=0}^{m-1}r^{k}=\frac{r^{m}-1}{r-1}.
Explicação do porquê: multiplique a soma por r-1:
(r-1)\sum_{k=0}^{m-1}r^{k}= \sum_{k=0}^{m-1}r^{k+1}-\sum_{k=0}^{m-1}r^{k}=r^{m}-1.
Dividindo por r-1 obtemos a fórmula. Neste caso usamos r=10 e m=n, logo
U_{n}=\frac{10^{n}-1}{10-1}=\frac{10^{n}-1}{9}.

Passo 3

Agora pense no contrário: suponha que n seja composto, ou seja, existam inteiros a e b com a\ge2, b\ge2 e
n=ab.
Vou mostrar que, nesse caso, U_{n} não pode ser primo, isto é, U_{n} é composto. Para isso é útil usar a fatoração de uma diferença de potências: para qualquer x e inteiro b\ge1 vale
x^{b}-1=(x-1)\bigl(x^{b-1}+x^{b-2}+\cdots+x+1\bigr).
Esta identidade é a mesma ideia da soma geométrica, aplicada a x e b.

Passo 4

Aplicando a fatoração com x=10^{a} e b dado acima, temos
10^{n}-1=10^{ab}-1=(10^{a})^{b}-1=(10^{a}-1)\sum_{j=0}^{b-1}10^{aj}.
Dividindo ambos os lados por 9 (lembrando que U_{n}=(10^{n}-1)/9) obtemos
U_{n}=\frac{10^{n}-1}{9}=\frac{10^{a}-1}{9}\cdot\sum_{j=0}^{b-1}10^{aj}.
Observe que \dfrac{10^{a}-1}{9}=U_{a}. Portanto
U_{n}=U_{a}\cdot\Bigl(\sum_{j=0}^{b-1}10^{aj}\Bigr).

Passo 5

Agora explico por que isto mostra que U_{n} é composto quando n é composto. Temos que a\ge2, logo U_{a} é um número inteiro maior que 1 (por exemplo, U_{2}=11). Além disso U_{a}<U_{n} porque a<n e números com menos dígitos 1 são menores. A segunda fator \sum_{j=0}^{b-1}10^{aj} também é um inteiro maior que 1 quando b\ge2. Assim U_{n} é um produto de dois inteiros maiores que 1, logo U_{n} é composto (não-primo).

Passo 6

Conclusão lógica: mostramos que se n é composto então U_{n} é composto. A contrapartida lógica é a contrapositive: se U_{n} é primo então n não pode ser composto, ou seja, n deve ser primo. Esse é exatamente o que o enunciado pedia.\n
Para ficar mais concreto, um exemplo rápido: n=6 é composto ( 6=3\cdot2). Pelas fórmulas acima,
U_{6}=111111=U_{3}\cdot\bigl(10^{3}+1\bigr)=111\cdot1001,
mostrando que U_{6} é composto.

Resposta

Se U_{n} é primo então n é primo.

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