Seja
o número formado por
's. Mostre que se
é primo então
é primo. (dica: escreva explicitamente a expansão de
na base 10 e use exercícios da Lista 1.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a afirmação: “se
é primo então
é primo”.\n
Informações dadas que vamos usar (sem resolver ainda):\n
Informações dadas que vamos usar (sem resolver ainda):\n
-
é o número formado por algarismos 1 na base 10 (por exemplo, ).\n - O enunciado sugere escrever explicitamente a expansão de
na base 10 (ou seja, como soma de potências de 10) e usar exercícios básicos sobre soma de progressão geométrica e fatoração de diferenças de potências.
Passo 2
Escrevendo
como soma das potências de 10: cada algarismo 1 corresponde a um termo
. Assim
Aqui eu mostro e explico a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita, porque ela é a chave: para qualquer número real
e inteiro
temos
Explicação do porquê: multiplique a soma por
:
Dividindo por
obtemos a fórmula. Neste caso usamos
e
, logo
Passo 3
Agora pense no contrário: suponha que
seja composto, ou seja, existam inteiros
e
com
,
e
Vou mostrar que, nesse caso,
não pode ser primo, isto é,
é composto. Para isso é útil usar a fatoração de uma diferença de potências: para qualquer
e inteiro
vale
Esta identidade é a mesma ideia da soma geométrica, aplicada a
e
.
Passo 4
Aplicando a fatoração com
e
dado acima, temos
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
) obtemos
Observe que
. Portanto
Passo 5
Agora explico por que isto mostra que
é composto quando
é composto. Temos que
, logo
é um número inteiro maior que
(por exemplo,
). Além disso
porque
e números com menos dígitos 1 são menores. A segunda fator
também é um inteiro maior que
quando
. Assim
é um produto de dois inteiros maiores que
, logo
é composto (não-primo).
Passo 6
Conclusão lógica: mostramos que se
é composto então
é composto. A contrapartida lógica é a contrapositive: se
é primo então
não pode ser composto, ou seja,
deve ser primo. Esse é exatamente o que o enunciado pedia.\n
Para ficar mais concreto, um exemplo rápido: é composto (
). Pelas fórmulas acima,
Para ficar mais concreto, um exemplo rápido:
mostrando que
é composto.
Resposta
Se
é primo então
é primo.