Dado n \in \mathbb{Z} arbitrário. Calcule m d c(n, n+1).

Passo 1

O enunciado dá um inteiro arbitrário n\in\mathbb{Z} e pede para calcular \mathrm{mdc}(n,n+1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A única informação numérica é que os dois números considerados são n e n+1.
  • O objetivo é encontrar o máximo divisor comum (mdc) desses dois inteiros.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa \mathrm{mdc}.
Definição: para inteiros a e b (não ambos zero), \mathrm{mdc}(a,b) é o maior inteiro positivo d tal que d divide a e d divide b. Escrevemos " d divide a" como d\mid a.
Observação importante sobre sinais: \mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(|a|,|b|), ou seja, o sinal não altera o valor do mdc (o mdc é sempre não negativo).

Passo 3

Propriedade simples de divisibilidade que vamos usar: se d\mid x e d\mid y, então d\mid (x-y). Isto é fácil de ver porque, se existem inteiros k,\ell tais que x=dk e y=d\ell, então x-y=d(k-\ell), logo d divide x-y.

Passo 4

Aplique a propriedade ao nosso caso. Seja d=\mathrm{mdc}(n,n+1). Por definição d\mid n e d\mid (n+1). Pela propriedade do Passo 3, d divide a diferença:
(n+1)-n = 1.
Logo d\mid 1.

Passo 5

Os divisores inteiros de 1 são apenas 1 e -1. Como \mathrm{mdc} é definido como o maior divisor positivo comum, a única possibilidade para \mathrm{mdc}(n,n+1) é 1. Portanto concluímos que
\mathrm{mdc}(n,n+1)=1.

Passo 6

Comentário alternativo (mesma ideia, por outra via): pela propriedade do algoritmo de Euclides,
\mathrm{mdc}(n,n+1)=\mathrm{mdc}(n+1,n)=\mathrm{mdc}\bigl(n,(n+1)\bmod n\bigr).
Como (n+1)\mod n = 1, segue \mathrm{mdc}(n,n+1)=\mathrm{mdc}(n,1)=1. Isso bate com a prova por diferença acima. Exemplo rápido para fixar: \mathrm{mdc}(5,6)=1 e \mathrm{mdc}(-3,-2)=1.

Resposta

\,1

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