Determinar x_{0} e y_{0} tais que a x_{0}+b y_{0}=m d c(a, b), quando:
(b) a=5139 e b=162.

Passo 1

O enunciado pede para determinar x_{0} e y_{0} inteiros tais que
a x_{0} + b y_{0} = \operatorname{mdc}(a,b),
quando a=5139 e b=162.
Informações dadas:
  • a = 5139.
  • b = 162.
  • Queremos achar inteiros x_{0},y_{0} que resolvam a combinação linear acima, isto é, expressar \operatorname{mdc}(5139,162) como combinação linear de 5139 e 162.

Passo 2

Primeiro calculamos \operatorname{mdc}(5139,162) usando o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). A ideia do algoritmo é dividir reiteradamente e tomar restos até obter resto zero; o último resto não nulo é o máximo divisor comum.
Fazemos as divisões:
5139 = 31\cdot162 + 117
162 = 1\cdot117 + 45
117 = 2\cdot45 + 27
45 = 1\cdot27 + 18
27 = 1\cdot18 + 9
18 = 2\cdot9 + 0

Passo 3

Como o último resto não nulo é 9, temos
\operatorname{mdc}(5139,162)=9.
Explicando rapidinho: cada linha é da forma \text{dividendo} = \text{quociente}\cdot\text{divisor} + \text{resto}; quando o resto chega a zero, o divisor da última divisão com resto não nulo é o \operatorname{mdc}.

Passo 4

Agora vamos usar o algoritmo de Euclides estendido para escrever 9 como combinação linear de 5139 e 162. A ideia é fazer substituições reversas (back-substitution) das igualdades das divisões acima, expressando cada resto em termos de 5139 e 162.

Passo 5

Relembremos as expressões dos restos (tiradas das divisões):
117 = 5139 - 31\cdot162
45 = 162 - 1\cdot117
27 = 117 - 2\cdot45
18 = 45 - 1\cdot27
9 = 27 - 1\cdot18
Agora substituímos começando embaixo para escrever 9 em função de 117 e 45, e daí em função de 5139 e 162.
Primeiro:
9 = 27 - 1\cdot18.
Substituindo 18 = 45 - 1\cdot27:
9 = 27 - 1\cdot(45 - 1\cdot27) = 27 - 45 + 27 = 2\cdot27 - 45.
Agora substituímos 27 = 117 - 2\cdot45:
9 = 2\cdot(117 - 2\cdot45) - 45 = 2\cdot117 -4\cdot45 -45 = 2\cdot117 -5\cdot45.
Substituímos 45 = 162 - 1\cdot117:
9 = 2\cdot117 -5\cdot(162 - 1\cdot117) = 2\cdot117 -5\cdot162 +5\cdot117 = 7\cdot117 -5\cdot162.
Finalmente substituímos 117 = 5139 - 31\cdot162:
9 = 7\cdot(5139 - 31\cdot162) -5\cdot162 = 7\cdot5139 -217\cdot162 -5\cdot162 = 7\cdot5139 -222\cdot162.

Passo 6

Portanto conseguimos escrever 9 como combinação linear:
9 = 5139\cdot7 + 162\cdot(-222).
Isto dá uma solução particular para a equação pedida: x_{0}=7 e y_{0}=-222.
Verificação rápida: 5139\cdot7 = 35973 e 162\cdot(-222) = -35964; somando: 35973-35964=9, confere.

Passo 7

Se quiser todas as soluções inteiras da equação 5139x + 162y = 9, elas são dadas por
x = x_{0} + \frac{b}{d}t,\qquad y = y_{0} - \frac{a}{d}t,\qquad t\in\mathbb{Z},
onde d=\operatorname{mdc}(a,b)=9. Aqui \dfrac{b}{d}=\dfrac{162}{9}=18 e \dfrac{a}{d}=\dfrac{5139}{9}=571. Logo
x = 7 + 18t,\qquad y = -222 - 571t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Resposta

x_{0}=7,\\ y_{0}=-222
Soluções gerais: x=7+18t,\\ y=-222-571t,\\ t\in\mathbb{Z}

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