Determinar
e
tais que
, quando:
(b)
e
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar
e
inteiros tais que
quando
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
. -
. - Queremos achar inteiros
que resolvam a combinação linear acima, isto é, expressar como combinação linear de e .
Passo 2
Primeiro calculamos
usando o algoritmo de Euclides (divisões sucessivas). A ideia do algoritmo é dividir reiteradamente e tomar restos até obter resto zero; o último resto não nulo é o máximo divisor comum.
Fazemos as divisões:
Fazemos as divisões:
Passo 3
Como o último resto não nulo é
, temos
Explicando rapidinho: cada linha é da forma
; quando o resto chega a zero, o divisor da última divisão com resto não nulo é o
.
Passo 4
Agora vamos usar o algoritmo de Euclides estendido para escrever
como combinação linear de
e
. A ideia é fazer substituições reversas (back-substitution) das igualdades das divisões acima, expressando cada resto em termos de
e
.
Passo 5
Relembremos as expressões dos restos (tiradas das divisões):
Agora substituímos começando embaixo para escrever
em função de
e
, e daí em função de
e
.
Primeiro:
Substituindo
:
Agora substituímos
:
Substituímos
:
Finalmente substituímos
:
Passo 6
Portanto conseguimos escrever
como combinação linear:
Isto dá uma solução particular para a equação pedida:
e
.
Verificação rápida: e
; somando:
, confere.
Verificação rápida:
Passo 7
Se quiser todas as soluções inteiras da equação
, elas são dadas por
onde
. Aqui
e
. Logo
Resposta
Soluções gerais: