Determinar
e
tais que
, quando:
(a)
e
.
(a)
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
- Pede-se encontrar inteiros
e tais que
- Os valores dados são
e . - Ou seja, devemos achar inteiros
com
- Primeiro vamos calcular
(algoritmo de Euclides). Depois expressaremos esse como combinação linear de e (identidade de Bézout) para obter e .
Passo 2
Calcular
pelo algoritmo de Euclides — ideia: fazer divisões sucessivas
até resto zero; o último resto não nulo é o
.
Realizando as divisões:
Como o último resto não nulo é
, temos
Explicação curta do raciocínio: em cada linha usamos a divisão com quociente inteiro e resto menor que o divisor; quando o resto chega a zero, o divisor daquela linha anterior é o máximo divisor comum.
Passo 3
Expressar o
como combinação linear de
e
(identidade de Bézout) — método: voltar substituindo os restos.
Das divisões obtemos as igualdades (reorganizadas para isolar o resto):
Agora substituir passo a passo para escrever
em termos de
e
.
Primeiro, substituir
na expressão de
:
Desenvolvendo:
Agora substituir
:
Distribuindo:
Calcular
, então
Verificação numérica rápida (opcional, só para conferir):
logo está correto.
Passo 4
Interpretação do resultado: obtivemos uma combinação
Portanto um par de coeficientes que satisfaz a identidade pedida é
Observação didática (útil para a prova): toda solução inteira da equação
é dada por
para qualquer
. Isso vem do fato de que, se
, as soluções gerais diferem por múltiplos de
em
e de
em
.