Determinar x_{0} e y_{0} tais que a x_{0}+b y_{0}=m d c(a, b), quando:
(a) a=2026 e b=144.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pede-se encontrar inteiros x_{0} e y_{0} tais que
a x_{0}+b y_{0}=m d c(a,b).
  • Os valores dados são a=2026 e b=144.
  • Ou seja, devemos achar inteiros x_{0},y_{0} com
2026\,x_{0}+144\,y_{0}=\gcd(2026,144).
  • Primeiro vamos calcular \gcd(2026,144) (algoritmo de Euclides). Depois expressaremos esse \gcd como combinação linear de 2026 e 144 (identidade de Bézout) para obter x_{0} e y_{0}.

Passo 2

Calcular \gcd(2026,144) pelo algoritmo de Euclides — ideia: fazer divisões sucessivas a = q b + r até resto zero; o último resto não nulo é o \gcd.
Realizando as divisões:
2026 = 14\cdot 144 + 10
144 = 14\cdot 10 + 4
10 = 2\cdot 4 + 2
4 = 2\cdot 2 + 0
Como o último resto não nulo é 2, temos
\gcd(2026,144)=2.
Explicação curta do raciocínio: em cada linha usamos a divisão com quociente inteiro e resto menor que o divisor; quando o resto chega a zero, o divisor daquela linha anterior é o máximo divisor comum.

Passo 3

Expressar o \gcd como combinação linear de 2026 e 144 (identidade de Bézout) — método: voltar substituindo os restos.
Das divisões obtemos as igualdades (reorganizadas para isolar o resto):
10 = 2026 - 14\cdot 144,
4 = 144 - 14\cdot 10,
2 = 10 - 2\cdot 4.
Agora substituir passo a passo para escrever 2 em termos de 2026 e 144.
Primeiro, substituir 4 na expressão de 2:
2 = 10 - 2\cdot(144 - 14\cdot 10).
Desenvolvendo:
2 = 10 - 2\cdot 144 + 28\cdot 10 = 29\cdot 10 - 2\cdot 144.
Agora substituir 10 = 2026 - 14\cdot 144:
2 = 29\cdot(2026 - 14\cdot 144) - 2\cdot 144.
Distribuindo:
2 = 29\cdot 2026 - 29\cdot 14\cdot 144 - 2\cdot 144.
Calcular 29\cdot 14 = 406, então
2 = 29\cdot 2026 - 406\cdot 144 - 2\cdot 144 = 29\cdot 2026 - 408\cdot 144.
Verificação numérica rápida (opcional, só para conferir):
29\cdot 2026 = 58754,\qquad 408\cdot 144 = 58752,\qquad 58754-58752=2,
logo está correto.

Passo 4

Interpretação do resultado: obtivemos uma combinação
2026\cdot 29 + 144\cdot(-408) = 2.
Portanto um par de coeficientes que satisfaz a identidade pedida é
x_{0}=29,\qquad y_{0}=-408.
Observação didática (útil para a prova): toda solução inteira da equação
2026\,x+144\,y=2
é dada por
x = 29 + \frac{144}{2}\,t = 29 + 72\,t,
y = -408 - \frac{2026}{2}\,t = -408 - 1013\,t,
para qualquer t\in\mathbb{Z}. Isso vem do fato de que, se d=\gcd(a,b), as soluções gerais diferem por múltiplos de b/d em x e de -a/d em y.

Resposta

x_{0}=29,\; y_{0}=-408

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