Dado
num corpo
, põe-se, por definição,
e, se
. Prove:
, sejam quais forem
.)
Passo 1
O enunciado define potências de um elemento não nulo
em um corpo
para expoentes inteiros:
– .
– Se , então
.
Precisamos provar que, para quaisquer , vale
–
– Se
Precisamos provar que, para quaisquer
Usaremos indução em
para tratar o caso
e depois o caso
pela definição de potências negativas.
Passo 2
Primeiro, suponha
.
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha que para algum
já temos
Então, para
,
Logo, por indução,
para todo
.
Passo 3
Agora, seja
. Escreva
com
. Então, usando a definição de potência negativa e o caso já provado para
, temos
Resposta
Portanto, para quaisquer
,