Dado a \neq 0 num corpo K, põe-se, por definição, a^{0}=1 e, se n \in \mathbb{N}, a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\, ou seja, \(a^{-n}=\left(a^{n}\right)^{-1}. Prove:
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}, sejam quais forem m, n \in \mathbb{Z}.)

Passo 1

O enunciado define potências de um elemento não nulo a em um corpo K para expoentes inteiros:
a^0=1.
– Se n\in\mathbb{N}, então a^{-n}=(a^{n})^{-1}.
Precisamos provar que, para quaisquer m,n\in\mathbb{Z}, vale
(a^{m})^{n}=a^{m\,n}.
Usaremos indução em n para tratar o caso n\ge0 e depois o caso n<0 pela definição de potências negativas.

Passo 2

Primeiro, suponha n\ge0.
Base ( n=0):
(a^m)^0 = 1 = a^0 = a^{m\cdot 0}.
Passo indutivo: suponha que para algum n\ge0 já temos
(a^m)^n = a^{m\,n}.
Então, para n+1,
(a^m)^{n+1} = (a^m)^n \cdot a^m = a^{m\,n}\cdot a^m = a^{m\,n + m} = a^{m\,(n+1)}.
Logo, por indução, (a^m)^n = a^{m\,n} para todo n\in\mathbb{N}_0.

Passo 3

Agora, seja n<0. Escreva n=-k com k\in\mathbb{N}. Então, usando a definição de potência negativa e o caso já provado para k>0, temos
(a^m)^n = (a^m)^{-k} = \bigl((a^m)^k\bigr)^{-1} = \bigl(a^{m\,k}\bigr)^{-1} = a^{-m\,k} = a^{m\,(-k)} = a^{m\,n}.

Resposta

Portanto, para quaisquer m,n\in\mathbb{Z},
(a^{m})^{n}=a^{m\,n}.

Exercícios relacionados