Dados a, b, c, d num corpo K, sendo b e d diferentes de zero, prove:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos em um corpo K que, dados a,b,c,d\in K com b\neq0 e d\neq0, vale
\frac{a}{b}\,\cdot\frac{c}{d} \;=\;\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.
Aqui usaremos a definição de divisão em corpos (multiplicar pelo inverso), além das propriedades de associatividade e comutatividade da multiplicação e da unicidade do inverso.

Passo 2

Pela definição de divisão em corpos, temos
\frac{a}{b} = a\cdot b^{-1} \quad\text{e}\quad \frac{c}{d} = c\cdot d^{-1}.
Logo
\frac{a}{b}\,\cdot\frac{c}{d} = \bigl(a\cdot b^{-1}\bigr)\,\bigl(c\cdot d^{-1}\bigr).

Passo 3

Usando associatividade e comutatividade da multiplicação em K, reagrupamos e permutamos fatores:
\bigl(a\cdot b^{-1}\bigr)\,\bigl(c\cdot d^{-1}\bigr) = a\cdot\bigl(b^{-1}\cdot c\bigr)\cdot d^{-1} = a\cdot\bigl(c\cdot b^{-1}\bigr)\cdot d^{-1} = \bigl(a\cdot c\bigr)\,\bigl(b^{-1}\cdot d^{-1}\bigr).

Passo 4

Em um corpo, o inverso de um produto é o produto dos inversos, isto é,
(b\cdot d)\,\bigl(b^{-1}\cdot d^{-1}\bigr)=1.
Pela unicidade do inverso, concluímos
(b\cdot d)^{-1} = b^{-1}\cdot d^{-1}.
Substituindo em cima, obtemos
\bigl(a\cdot c\bigr)\,\bigl(b^{-1}\cdot d^{-1}\bigr) = (a\cdot c)\,\bigl(b\cdot d\bigr)^{-1} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}.

Resposta

\frac{a}{b}\,\cdot\frac{c}{d} \;=\;\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.

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