Num corpo ordenado, se
e
são positivos, prove que
. Enuncie e demonstre desigualdades análogas às dos Exercícios 23 e 24, com
em vez de 1 .
Passo 1
O enunciado pede para provar, em um corpo ordenado, que se
e
então
Este é o caso de Bernoulli generalizado: escrevemos
e aplicamos a desigualdade de Bernoulli clássica para
sempre que
.
Passo 2
Como
e
temos
. Então, pela desigualdade de Bernoulli,
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
que é justamente o que se queria.
Passo 3
Exercício 23 (caso com
em vez de 1):
Provar que, se e
, então
Provar que, se
Demonstração: pela expansão binomial temos
pois todos os demais termos
com
são não negativos.
Passo 4
Exercício 24 (caso geral, com
em vez de 1):
Para qualquer inteiro com
, provar que
Para qualquer inteiro
Demonstração: basta observar a expansão binomial completa
e descartar todos os termos com
, que são não negativos já que
e
.
Resposta
A desigualdade básica é
Os análogos dos Exercícios 23 e 24 são, respectivamente,
e, mais geralmente, para todo
,