Num corpo ordenado, se a e a+x são positivos, prove que (a+x)^{n} \geq a^{n}+n \cdot a^{n-1} \cdot x. Enuncie e demonstre desigualdades análogas às dos Exercícios 23 e 24, com a em vez de 1 .

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um corpo ordenado, que se a>0 e a+x>0 então
(a+x)^{n}\ge a^{n}+n\,a^{n-1}x.
Este é o caso de Bernoulli generalizado: escrevemos
(a+x)^{n} = a^{n}\bigl(1+\tfrac{x}{a}\bigr)^{n}
e aplicamos a desigualdade de Bernoulli clássica para \bigl(1+u\bigr)^{n}\ge1+nu sempre que u\ge-1.

Passo 2

Como a>0 e a+x>0 temos \tfrac{x}{a}>-1. Então, pela desigualdade de Bernoulli,
\bigl(1+\tfrac{x}{a}\bigr)^{n}\ge1+n\cdot\tfrac{x}{a}.
Multiplicando ambos os lados por a^{n}, obtemos
(a+x)^{n}=a^{n}\bigl(1+\tfrac{x}{a}\bigr)^{n}\ge a^{n}\bigl(1+n\tfrac{x}{a}\bigr) = a^{n}+n\,a^{n-1}x,
que é justamente o que se queria.

Passo 3

Exercício 23 (caso com a em vez de 1):
Provar que, se a>0 e a+x>0, então
(a+x)^{n}\ge a^{n}+n\,a^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2}\,a^{\,n-2}x^{2}.
Demonstração: pela expansão binomial temos
(a+x)^{n} =\sum_{k=0}^{n}\binom nk\,a^{\,n-k}x^{k} \ge a^{n} +n\,a^{n-1}x +\binom n2\,a^{n-2}x^{2},
pois todos os demais termos \binom nk\,a^{n-k}x^{k} com k\ge3 são não negativos.

Passo 4

Exercício 24 (caso geral, com a em vez de 1):
Para qualquer inteiro m com 0\le m\le n, provar que
(a+x)^{n}\;\ge\;\sum_{k=0}^{m}\binom nk\,a^{\,n-k}x^{k}.
Demonstração: basta observar a expansão binomial completa
(a+x)^{n} =\sum_{k=0}^{n}\binom nk\,a^{\,n-k}x^{k}
e descartar todos os termos com k>m, que são não negativos já que a>0 e a+x>0.

Resposta

A desigualdade básica é
(a+x)^{n}\ge a^{n}+n\,a^{n-1}x.
Os análogos dos Exercícios 23 e 24 são, respectivamente,
(a+x)^{n}\ge a^{n}+n\,a^{n-1}x+\tfrac{n(n-1)}{2}a^{n-2}x^{2}
e, mais geralmente, para todo 0\le m\le n,
(a+x)^{n}\ge\sum_{k=0}^{m}\binom nk\,a^{\,n-k}x^{k}.

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