Encontre a série de Taylor de f(x)=x^{4}-3 x^{2}+1 centrada em a=-1.

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a série de Taylor de f(x)=x^{4}-3 x^{2}+1 centrada em a=-1".\n
Informações dadas e o que precisamos fornecer:\n
  • A função é f(x)=x^{4}-3 x^{2}+1.\n
  • O centro da série (ponto em torno do qual expandimos) é a=-1.\n
  • Precisamos escrever f(x) como uma série em potências de (x-(-1))=(x+1), ou seja, na forma
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x+1)^{n},
indicando os coeficientes c_{n}.\n
Observação útil (informação do enunciado): f é um polinômio de grau 4, então a série de Taylor centrada em -1 será polinomial (termina em grau 4).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a substituição simples u=x+1 e expandir o polinômio em potências de u.\n
Por que isso é conveniente? Porque a série de Taylor em torno de a=-1 é exatamente a escrita de f como polinômio em (x+1). A substituição u=x+1 transforma o problema em escrever f como polinômio em u. Isso evita cálculo de derivadas longas e é direto para polinômios. Vou explicar e aplicar o método passo a passo.

Passo 3

Introduzindo a variável de deslocamento: defina u=x+1. Então x=u-1.\n
Vou usar o Teorema do Binómio (binomial) para expandir potências de u-1. O Teorema do Binómio diz:
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial. Aqui usarei com a=u e b=-1.

Passo 4

Calcule as potências necessárias usando o binômio:\n
Primeiro,
(u-1)^{2}=u^{2}-2u+1,
porque \binom{2}{0}=1,\;\binom{2}{1}=2,\;\binom{2}{2}=1 e os sinais vêm de b=-1.\n
Depois,
(u-1)^{4}=u^{4}-4u^{3}+6u^{2}-4u+1,
porque os coeficientes binomiais para n=4 são 1,4,6,4,1 e os sinais alternam pelo fator (-1)^{k}.

Passo 5

Substitua essas expansões em f(x). Lembre que x=u-1, então
f(x)=(u-1)^{4}-3(u-1)^{2}+1.
Agora coloque as expansões:
f(x)=\bigl(u^{4}-4u^{3}+6u^{2}-4u+1\bigr)-3\bigl(u^{2}-2u+1\bigr)+1.

Passo 6

Distribua o -3 e some termo a termo:\n
O termo -3(u^{2}-2u+1) é -3u^{2}+6u-3. Somando tudo:
u^{4}-4u^{3}+6u^{2}-4u+1-3u^{2}+6u-3+1.
Agrupando coeficientes de mesma potência de u:
u^{4}-4u^{3}+(6-3)u^{2}+(-4+6)u+(1-3+1).
Logo,
f(x)=u^{4}-4u^{3}+3u^{2}+2u-1.

Passo 7

Volte à variável original x lembrando que u=x+1. Assim a série de Taylor centrada em -1 é
f(x)=(x+1)^{4}-4(x+1)^{3}+3(x+1)^{2}+2(x+1)-1.
Isto já está em forma de série em potências de (x+1). Os coeficientes são c_{4}=1, c_{3}=-4, c_{2}=3, c_{1}=2, c_{0}=-1, e c_{n}=0 para n\ge5.\n
(Pequena verificação alternativa: usando a fórmula de Taylor \displaystyle c_{n}=\dfrac{f^{(n)}(-1)}{n!} você encontra os mesmos coeficientes; por exemplo f(-1)=-1,\;f'(-1)=2,\;f''(-1)=6,\;f^{(3)}(-1)=-24,\;f^{(4)}(-1)=24, que dão c_{0}=-1,\;c_{1}=2,\;c_{2}=3,\;c_{3}=-4,\;c_{4}=1.)

Resposta

f(x)=(x+1)^{4}-4(x+1)^{3}+3(x+1)^{2}+2(x+1)-1

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