Encontre a série de Taylor de
centrada em
.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a série de Taylor de
centrada em
".\n
Informações dadas e o que precisamos fornecer:\n
Informações dadas e o que precisamos fornecer:\n
- A função é
.\n - O centro da série (ponto em torno do qual expandimos) é
.\n - Precisamos escrever
como uma série em potências de , ou seja, na forma
indicando os coeficientes
.\n
Observação útil (informação do enunciado): é um polinômio de grau 4, então a série de Taylor centrada em
será polinomial (termina em grau 4).
Observação útil (informação do enunciado):
Passo 2
Escolha do método: vou usar a substituição simples
e expandir o polinômio em potências de
.\n
Por que isso é conveniente? Porque a série de Taylor em torno de é exatamente a escrita de
como polinômio em
. A substituição
transforma o problema em escrever
como polinômio em
. Isso evita cálculo de derivadas longas e é direto para polinômios. Vou explicar e aplicar o método passo a passo.
Por que isso é conveniente? Porque a série de Taylor em torno de
Passo 3
Introduzindo a variável de deslocamento: defina
. Então
.\n
Vou usar o Teorema do Binómio (binomial) para expandir potências de . O Teorema do Binómio diz:
Vou usar o Teorema do Binómio (binomial) para expandir potências de
onde
é o coeficiente binomial. Aqui usarei com
e
.
Passo 4
Calcule as potências necessárias usando o binômio:\n
Primeiro,
Primeiro,
porque
e os sinais vêm de
.\n
Depois,
Depois,
porque os coeficientes binomiais para
são
e os sinais alternam pelo fator
.
Passo 5
Substitua essas expansões em
. Lembre que
, então
Agora coloque as expansões:
Passo 6
Distribua o
e some termo a termo:\n
O termo é
. Somando tudo:
O termo
Agrupando coeficientes de mesma potência de
:
Logo,
Passo 7
Volte à variável original
lembrando que
. Assim a série de Taylor centrada em
é
Isto já está em forma de série em potências de
. Os coeficientes são
,
,
,
,
, e
para
.\n
(Pequena verificação alternativa: usando a fórmula de Taylor você encontra os mesmos coeficientes; por exemplo
, que dão
.)
(Pequena verificação alternativa: usando a fórmula de Taylor