O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, e o enunciado pede que a conversemos para coordenadas polares antes de calcular.
Passo 2
Vamos explicar a mudança para coordenadas polares de forma bem didática.
Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta medindo o ângulo a partir do eixo x.
A distância ao origem (o raio) é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Assim o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira simplesmente r.
O elemento de área dA em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta (o fator extra r é o jacobiano da transformação).
Portanto o produto do integrando pelo jacobiano é r \cdot r = r^{2}. Em outras palavras, na integral dupla vamos integrar a função r^{2} em dr\,d\theta.
Agora precisamos descrever a região de integração em coordenadas polares. Voltemos à descrição cartesiana do domínio: 0\le x\le 2 e 0\le y\le \sqrt{x}.
A curva y=\sqrt{x} equivale a x=y^{2}. Em coordenadas polares substituímos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta e obtemos a equação da curva no plano polar:
(r\sin\theta)^{2} = r\cos\theta.
Simplificando para r>0 obtemos
r \sin^{2}\theta = \cos\theta \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
A reta vertical x=2 vira, em polares, r\cos\theta=2, ou seja
r=\frac{2}{\cos\theta}.
Como temos x\ge0 e y\ge0, estamos no primeiro quadrante, então \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Para cada direção \theta fixa, r varia desde 0 até o menor dos dois limites r=\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} (a parábola) e r=\frac{2}{\cos\theta} (a reta vertical). Assim o limite superior radial é r_{\max}(\theta)=\min\!\Big(\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta},\,\dfrac{2}{\cos\theta}\Big).
Precisamos determinar para quais \theta cada uma dessas curvas domina (qual é a menor). Igualamos os dois para encontrar o ângulo de corte:\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{2}{\cos\theta}
Faça a substituição u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta=\theta_{0} temos u=\sin\theta_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Quando \theta=\tfrac{\pi}{2} temos u=1.
pois podemos reescrever \dfrac{\cos^{3}\theta}{\sin^{6}\theta}=\cos\theta\big(\sin^{-6}\theta\big)=\cos\theta\big(u^{-6}\big) e separar termos se necessário; mais diretamente:
Agora usamos \sin\theta_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Então 1^{\text{}}=1, e para u=\dfrac{1}{\sqrt{3}} temos u^{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{9} e u^{5}=\dfrac{\sqrt{3}}{27}. Portanto os recíprocos são 1/u^{3}=3\sqrt{3} e 1/u^{5}=9\sqrt{3}.
Avaliando o termo em u=1 dá -\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{15}.
Avaliando o termo em u=\dfrac{1}{\sqrt{3}} dá -\dfrac{1}{5}\cdot 9\sqrt{3} + \dfrac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3} = -\dfrac{9\sqrt{3}}{5} + \sqrt{3}.
Subtraindo e multiplicando por \dfrac{1}{3} obtemos
Avaliando em 0 e em \theta_{0}: em 0 temos \sec0\tan0=0 e \ln(\sec0+\tan0)=\ln 1=0. Em \theta_{0} usamos \sin\theta_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \cos\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \tan\theta_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \operatorname{sec}\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.