Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2x-x}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O limite interno é \sqrt{2x-x}. Note que \sqrt{2x-x}=\sqrt{x}, porque 2x-x=x. Logo o integrando interno é de y=0 até y=\sqrt{x}.
  • Portanto a integral é realmente
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{x}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx.
  • O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, e o enunciado pede que a conversemos para coordenadas polares antes de calcular.

Passo 2

Vamos explicar a mudança para coordenadas polares de forma bem didática.
  • Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta medindo o ângulo a partir do eixo x.
  • A distância ao origem (o raio) é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Assim o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira simplesmente r.
  • O elemento de área dA em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta (o fator extra r é o jacobiano da transformação).
  • Portanto o produto do integrando pelo jacobiano é r \cdot r = r^{2}. Em outras palavras, na integral dupla vamos integrar a função r^{2} em dr\,d\theta.
  • Agora precisamos descrever a região de integração em coordenadas polares. Voltemos à descrição cartesiana do domínio: 0\le x\le 2 e 0\le y\le \sqrt{x}.
    • A curva y=\sqrt{x} equivale a x=y^{2}. Em coordenadas polares substituímos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta e obtemos a equação da curva no plano polar:
    (r\sin\theta)^{2} = r\cos\theta.
    • Simplificando para r>0 obtemos
    r \sin^{2}\theta = \cos\theta \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
    • A reta vertical x=2 vira, em polares, r\cos\theta=2, ou seja
    r=\frac{2}{\cos\theta}.
    • Como temos x\ge0 e y\ge0, estamos no primeiro quadrante, então \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Para cada direção \theta fixa, r varia desde 0 até o menor dos dois limites r=\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} (a parábola) e r=\frac{2}{\cos\theta} (a reta vertical). Assim o limite superior radial é r_{\max}(\theta)=\min\!\Big(\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta},\,\dfrac{2}{\cos\theta}\Big).
  • Precisamos determinar para quais \theta cada uma dessas curvas domina (qual é a menor). Igualamos os dois para encontrar o ângulo de corte: \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{2}{\cos\theta}
\Longrightarrow \cos^{2}\theta = 2\sin^{2}\theta \Longrightarrow \cot^{2}\theta = 2 \Longrightarrow \tan\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Chamemos esse ângulo de \theta_{0}. Com um triângulo retângulo convenientemente escolhido temos
\tan\theta_{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad \sin\theta_{0}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \cos\theta_{0}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
  • Conclusão para a parametrização polar do domínio:
    • Para 0\le\theta\le\theta_{0} o limite radial é r\in\big[0,\tfrac{2}{\cos\theta}\big] (a reta x=2 fica mais próxima).
    • Para \theta_{0}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} o limite radial é r\in\big[0,\tfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\big] (a parábola domina).
  • Assim a integral se escreve como soma de duas integrais em polares:
\iint_{\text{região}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA =\int_{0}^{\theta_{0}}\int_{0}^{2/\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta +\int_{\theta_{0}}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos\theta/\sin^{2}\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.ã

Passo 3

Agora calculamos as integrais radiais internas. A primitiva de r^{2} em r é \dfrac{r^{3}}{3}. Aplicando isso a cada parte:
  • Primeira parte:
\int_{0}^{\theta_{0}}\int_{0}^{2/\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\theta_{0}} \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2/\cos\theta} d\theta = \int_{0}^{\theta_{0}} \frac{1}{3}\left(\frac{2}{\cos\theta}\right)^{3} d\theta = \frac{8}{3}\int_{0}^{\theta_{0}} \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
  • Segunda parte:
\int_{\theta_{0}}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos\theta/\sin^{2}\theta} r^{2}\,dr\,d\theta = \int_{\theta_{0}}^{\pi/2} \frac{1}{3}\left(\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\right)^{3} d\theta = \frac{1}{3}\int_{\theta_{0}}^{\pi/2} \frac{\cos^{3}\theta}{\sin^{6}\theta}\,d\theta.
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Calculemos a segunda parte primeiro (ela simplifica com uma substituição direta).
  • Escrevemos \dfrac{\cos^{3}\theta}{\sin^{6}\theta}=\cos\theta\big(\sin^{-6}\theta\big)=\cos\theta\big(\sin^{-6}\theta\big).
  • Faça a substituição u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta=\theta_{0} temos u=\sin\theta_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Quando \theta=\tfrac{\pi}{2} temos u=1.
  • A integral torna-se
\frac{1}{3}\int_{u=\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1} \big(u^{-6}\big)\,du -\frac{1}{3}\int_{u=\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1} \big(u^{-4}\big)\,du,
pois podemos reescrever \dfrac{\cos^{3}\theta}{\sin^{6}\theta}=\cos\theta\big(\sin^{-6}\theta\big)=\cos\theta\big(u^{-6}\big) e separar termos se necessário; mais diretamente:
\frac{1}{3}\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}\big(u^{-6}-u^{-4}\big)\,du.
  • Calcule as primitivas:
\int u^{-6}du = \frac{u^{-5}}{-5},\qquad \int u^{-4}du = \frac{u^{-3}}{-3}.
  • Avaliando entre u=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e u=1 obtemos
\frac{1}{3}\Bigg[\left(-\frac{1}{5u^{5}}+\frac{1}{3u^{3}}\right)\Bigg]_{u=\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}.
  • Agora usamos \sin\theta_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Então 1^{\text{}}=1, e para u=\dfrac{1}{\sqrt{3}} temos u^{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{9} e u^{5}=\dfrac{\sqrt{3}}{27}. Portanto os recíprocos são 1/u^{3}=3\sqrt{3} e 1/u^{5}=9\sqrt{3}.
  • Avaliando o termo em u=1 -\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{15}.
  • Avaliando o termo em u=\dfrac{1}{\sqrt{3}} -\dfrac{1}{5}\cdot 9\sqrt{3} + \dfrac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3} = -\dfrac{9\sqrt{3}}{5} + \sqrt{3}.
  • Subtraindo e multiplicando por \dfrac{1}{3} obtemos
\text{segunda parte}=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{15} + \frac{9\sqrt{3}}{5} - \sqrt{3}\right) =\frac{1}{3}\left(\frac{2}{15} + \frac{4\sqrt{3}}{5}\right) =\frac{2+12\sqrt{3}}{45}.

Passo 5

Agora calculamos a primeira parte, que envolve \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
  • A primitiva conhecida (e derivável por partes se necessário) é
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.
  • Portanto
\frac{8}{3}\int_{0}^{\theta_{0}} \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{8}{3}\left[\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\frac{1}{2}\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\right]_{0}^{\theta_{0}} = \frac{4}{3}\Big[\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)\Big]_{0}^{\theta_{0}}.
  • Avaliando em 0 e em \theta_{0}: em 0 temos \sec0\tan0=0 e \ln(\sec0+\tan0)=\ln 1=0. Em \theta_{0} usamos \sin\theta_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \cos\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \tan\theta_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \operatorname{sec}\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
  • Então
\operatorname{sec}\theta_{0}\tan\theta_{0}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \operatorname{sec}\theta_{0}+\tan\theta_{0}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}.
  • Logo a primeira parte vale
\frac{4}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)\right) =\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4}{3}\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Somamos as duas partes calculadas:
  • Primeira parte: \dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{4}{3}\ln\!\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right).
  • Segunda parte: \dfrac{2+12\sqrt{3}}{45}.
    Somando os termos com \sqrt{3}:
\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{12\sqrt{3}}{45} =\frac{30\sqrt{3}}{45}+\frac{12\sqrt{3}}{45} =\frac{42\sqrt{3}}{45}=\frac{14\sqrt{3}}{15}.
O termo constante é \dfrac{2}{45}. O termo logaritmo fica \dfrac{4}{3}\ln\!\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right).
Portanto a integral total é
\frac{14\sqrt{3}}{15}+\frac{2}{45}+\frac{4}{3}\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{14\sqrt{3}}{15}+\frac{2}{45}+\frac{4}{3}\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)

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