Dado o número complexo z=-1+i raiz3 :
Calcule z^4 usando a forma polar.

Passo 1

O enunciado pede para calcular z^4 onde z = -1 + iraiz3, usando a forma polar. Esse é um exercício de números complexos e vamos precisar encontrar o módulo e o argumento de z, passar para a forma trigonométrica e, em seguida, aplicar o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro calculamos o módulo r de z e o seu argumento theta. O módulo é dado por
r = |z| = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2
Para o argumento, observamos que x = -1 e y = raiz3, o que coloca z no segundo quadrante. Assim,
theta = arg(z) = pi - arctanl(tfracraiz31r) = pi - tfracpi3 = tfrac2pi3

Passo 3

Com isso, escrevemos z na forma polar (trigonométrica):
z = rl(costheta + isinthetar) = 2l(costfrac2pi3 + isintfrac2pi3r)

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de De Moivre para elevar ao quarto: se z = r(costheta + isintheta), então
z^4 = r^4l(cos(4theta) + isin(4theta)r)
Substituindo r = 2 e theta = 2pi/3:
z^4 = 2^4l(cosl(4cdottfrac2pi3r) + isinl(4cdottfrac2pi3r)r) = 16l(costfrac8pi3 + isintfrac8pi3r)

Passo 5

Observando que tfrac8pi3 = 2pi + tfrac2pi3, podemos reduzir o ângulo usando periodicidade:
costfrac8pi3 = costfrac2pi3 = -tfrac12, sintfrac8pi3 = sintfrac2pi3 = tfracraiz32
Logo,
z^4 = 16l(-tfrac12 + itfracraiz32r) = -8 + 8iraiz3

Resposta

-8 + 8iraiz3

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