Utilizando mudança de variável, encontre a solução geral da equação dada onde x>0.
x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0

Passo 1

Temos a equação de Euler–Cauchy
x^2y'' - 4x y' + 6y = 0, x>0
O conteúdo é EDO de coeficientes variáveis do tipo de Euler, e vamos usar a mudança de variável t = ln(x) para transformar em EDO de coeficientes constantes.

Passo 2

Definimos y(x)=u(t) com t=ln(x). Usando regra da cadeia, obtemos
y' = dudx = dudtdtdx = u'x
Em seguida,
y'' = ddxl(u'xr) = 1xdu'dx - u'x^2 = 1xl(u''xr) - u'x^2 = u'' - u'x^2

Passo 3

Substituindo em
x^2y'' - 4x y' + 6y = 0,
temos
$$
x^{2}\frac{u’’ - u’}{x^{2}} - 4x \frac{u’}{x} + 6u = 0
x^2u'' - u'x^2 - 4x u'x + 6u = 0 u’’ - u’ - 4u’ + 6u = 0 \quad\Longrightarrow\quad u’’ - 5u’ + 6u = 0.
$$

Passo 4

Resolvendo a EDO de coeficientes constantes
u'' - 5u' + 6u = 0,
a equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0,
cuja solução é r=2 ou r=3. Logo
$$u(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{3t}.
$$

Passo 5

Voltando à variável original x, como t = ln(x), temos
$$y(x) = u(\ln(x)) = C_{1}e^{2\ln(x)} + C_{2}e^{3\ln(x)} = C_{1}x^{2} + C_{2}x^{3}.
$$

Resposta

y(x) = C1x^2 + C2x^3

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