Utilizando mudança de variável, encontre a solução geral da equação dada onde
.
Passo 1
Temos a equação de Euler–Cauchy
O conteúdo é EDO de coeficientes variáveis do tipo de Euler, e vamos usar a mudança de variável
Passo 2
Definimos
com
. Usando regra da cadeia, obtemos
Em seguida,
Passo 3
Substituindo em
temos
$$
x^{2}\frac{u’’ - u’}{x^{2}} - 4x \frac{u’}{x} + 6u = 0
$$
Passo 4
Resolvendo a EDO de coeficientes constantes
a equação característica é
cuja solução é
ou
. Logo
$$u(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{3t}.
$$
Passo 5
Voltando à variável original
, como
, temos
$$y(x) = u(\ln(x)) = C_{1}e^{2\ln(x)} + C_{2}e^{3\ln(x)} = C_{1}x^{2} + C_{2}x^{3}.
$$