Dado o número Complexo
, calcule
. (Valor: 0,4 )
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para calcular
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
(número real negativo, visto como um complexo com parte imaginária zero).\n
Pergunta a responder: - Encontrar todos os valores de
(as raízes cúbicas de ) e indicar, se for o caso, a raiz principal.
Passo 2
Entender como escrever um número complexo na forma polar/exponencial é essencial. Vou explicar e aplicar.\n
Definição e ideia principal:
Definição e ideia principal:
- Todo número complexo
pode ser escrito como , onde: -
é o módulo (distância da origem até ), -
é o argumento de (o ângulo que o vetor que vai da origem a faz com o eixo real positivo).\n
Aplicando a:
-
- O módulo é
.\n - O ponto
está sobre o eixo real negativo; o ângulo que esse vetor faz com o eixo real positivo é (180 graus). Mas em geral os argumentos podem ser escritos como com (porque adicionar volta ao mesmo ponto). Portanto podemos escrever:
Passo 3
Agora a regra para encontrar as raízes
-ésimas (aqui
). Vou explicar a fórmula e por que ela funciona.\n
Fórmula das raízes -ésimas:
Fórmula das raízes
- Se
, então todas as raízes tais que são dadas por
Por que isso funciona (intuição e pequena demonstração):
- Suponha
. Então . - Queremos
(logo ) e (porque argumentos são definidos módulo ), daí . - Assim obtemos todas as
soluções distintas escolhendo .
Passo 4
Aplicando a fórmula para
e o nosso
.\n
- Primeiro calcule
.\n - Os ângulos das raízes são
Ou seja, as três raízes têm módulos
e ângulos
(pois para
dá
;
dá
;
dá
).
Passo 5
Transformar cada raiz da forma exponencial para a forma cartesiana (a + ib) usando
.\n
- Para
: .\n
Sabendo quee , então - Para
: .\n
Sabendoe , então (Observe que este é o raiz real, esperada: .) - Para
: .\n
Sabendoe , então
Passo 6
Comentário final e observação prática para a prova:\n
- As três raízes cúbicas de
são e .\n - Em contextos de números reais, a “raí z cúbica” de
é . Em contextos complexos, sempre lembre que uma raiz de ordem produz soluções distintas; use a forma polar/exponencial e a fórmula das raízes para encontrá-las. Se te pedirem a “raiz principal” no contexto de potência complexa com o argumento principal , então a escolha com (aqui ) costuma ser tomada como valor principal — mas confirme a convenção pedida na prova.