Dado o número Complexo z=-27, calcule z^{\frac{1}{3}}. (Valor: 0,4 )

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=-27 e pede para calcular z^{\frac{1}{3}}.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • z=-27 (número real negativo, visto como um complexo com parte imaginária zero).\n
    Pergunta a responder:
  • Encontrar todos os valores de z^{\frac{1}{3}} (as raízes cúbicas de z) e indicar, se for o caso, a raiz principal.

Passo 2

Entender como escrever um número complexo na forma polar/exponencial é essencial. Vou explicar e aplicar.\n
Definição e ideia principal:
  • Todo número complexo z\neq 0 pode ser escrito como \;z = r e^{i\theta}\;, onde:
    • \;r = |z|\; é o módulo (distância da origem até z),
    • \;\theta\; é o argumento de z (o ângulo que o vetor que vai da origem a z faz com o eixo real positivo).\n
      Aplicando a z=-27:
  • O módulo é \;r = |{-27}| = 27.\n
  • O ponto -27 está sobre o eixo real negativo; o ângulo que esse vetor faz com o eixo real positivo é \pi (180 graus). Mas em geral os argumentos podem ser escritos como \theta = \pi + 2k\pi com k\in\mathbb{Z} (porque adicionar 2\pi volta ao mesmo ponto). Portanto podemos escrever:
z = -27 = 27\,e^{i(\pi + 2k\pi)}\quad(k\in\mathbb{Z}).

Passo 3

Agora a regra para encontrar as raízes n-ésimas (aqui n=3). Vou explicar a fórmula e por que ela funciona.\n
Fórmula das raízes n-ésimas:
  • Se z = r e^{i\theta}, então todas as n raízes w tais que w^n = z são dadas por
w_k = r^{1/n} e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Por que isso funciona (intuição e pequena demonstração):
  • Suponha w = \rho e^{i\varphi}. Então w^n = \rho^n e^{in\varphi}.
  • Queremos \rho^n = r (logo \rho = r^{1/n}) e n\varphi = \theta + 2k\pi (porque argumentos são definidos módulo 2\pi), daí \varphi = (\theta+2k\pi)/n.
  • Assim obtemos todas as n soluções distintas escolhendo k=0,\dots,n-1.

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=3 e o nosso z=27 e^{i(\pi+2k\pi)}.\n
  • Primeiro calcule r^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3.\n
  • Os ângulos das raízes são
\frac{\theta+2k\pi}{3}=\frac{\pi+2k\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2.
Ou seja, as três raízes têm módulos 3 e ângulos \frac{\pi}{3},\\ \pi,\\ \frac{5\pi}{3} (pois para k=0 \pi/3; k=1 \pi; k=2 5\pi/3).

Passo 5

Transformar cada raiz da forma exponencial para a forma cartesiana (a + ib) usando \;e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.\n
  • Para k=0: \;w_0 = 3e^{i\pi/3} = 3\big(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\big).\n
    Sabendo que \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} e \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, então w_0 = 3\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2}.
  • Para k=1: \;w_1 = 3e^{i\pi} = 3(\cos\pi + i\sin\pi).\n
    Sabendo \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, então w_1 = 3(-1) = -3.(Observe que este é o raiz real, esperada: (-3)^3 = -27.)
  • Para k=2: \;w_2 = 3e^{i5\pi/3} = 3\big(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\big).\n
    Sabendo \cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2} e \sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}, então w_2 = 3\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{2}-i\frac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Comentário final e observação prática para a prova:\n
  • As três raízes cúbicas de -27 são \frac{3}{2}\pm i\frac{3\sqrt{3}}{2} e -3.\n
  • Em contextos de números reais, a “raí z cúbica” de -27 é -3. Em contextos complexos, sempre lembre que uma raiz de ordem n produz n soluções distintas; use a forma polar/exponencial e a fórmula das raízes para encontrá-las. Se te pedirem a “raiz principal” no contexto de potência complexa com o argumento principal \mathrm{Arg}\,z\in(-\pi,\pi], então a escolha com k=0 (aqui \frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2}) costuma ser tomada como valor principal — mas confirme a convenção pedida na prova.

Resposta

\dfrac{3}{2}+i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\n
-3\n
\dfrac{3}{2}-i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}

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