Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo: (Valor: 0,80,4 cada)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \cdot x^{n}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série de potências centrada em zero
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n\cdot x^{n}}{n^{3}+1}:
  • Determinar o raio de convergência R.
  • Determinar o intervalo (ou conjunto) de convergência na reta real (i.e., quais x\in\mathbb{R} fazem a série convergir).
Informações que o enunciado dá e que vamos usar: o n-ésimo coeficiente da série é
a_n=\frac{n}{n^{3}+1},
e a série é da forma \sum_{n=0}^\infty a_n x^n. Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Conceito e técnica que vamos usar (breve “aula”):
  • Para uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, o raio de convergência R pode ser encontrado pela fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Isto vem do teste da raiz aplicado à série em x. Se \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}, então converge para |x|<1/\rho e diverge para |x|>1/\rho.
  • Depois de obter R, devemos testar os pontos limites x=R e x=-R (quando R é finito) separadamente, porque o teste da raiz não informa sobre convergência exatamente nos extremos.
  • Ferramentas úteis para testar extremos:
    • Comparação assintótica: se a_n\sim C n^{-p} com p>1, então \sum a_n converge (p-série).
    • Teste de Leibniz (série alternada): se b_n\ge0, b_n\to0 e b_n é eventualmente decrescente, então \sum (-1)^n b_n converge.

Passo 3

Calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} para a_n=\dfrac{n}{n^3+1}.
Observação: para grandes n temos a_n\approx \dfrac{n}{n^3}= \dfrac{1}{n^2}. Mas precisamos da raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{n}{n^3+1}\right)^{1/n}.
Usamos que \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1 e também \lim_{n\to\infty} (n^3+1)^{1/n}=1. Logo o quociente das raízes tende a 1. Mais formalmente, podemos escrever
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\exp\!\Big(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\frac{n}{n^3+1}\Big)=\exp(0)=1,
pois \ln\frac{n}{n^3+1}=\ln n - \ln(n^3+1)=O(\ln n) e dividido por n tende a 0.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1.

Passo 4

Usar a fórmula do raio:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{1}=1.
Então o raio de convergência é R=1. Isso significa que a série converge ao menos para |x|<1 e diverge para |x|>1. Agora falta analisar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 5

Analisar o extremo x=1.
Substituindo x=1 obtemos a série numérica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n^{3}+1}.
Para testar convergência, comparemos com uma p-série. Para n\ge1,
\frac{n}{n^3+1}\le \frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}.
A série \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} é convergente (é uma p-série com p=2>1). Assim, por comparação direta, a série com x=1 converge absolutamente (porque seus termos são não-negativos e majorados por os termos de uma série convergente). Logo x=1 pertence ao conjunto de convergência.

Passo 6

Analisar o extremo x=-1.
Substituindo x=-1 obtemos a série alternada
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{n}{n^{3}+1}.
Defina b_n=\dfrac{n}{n^3+1} (termos positivos). Verificamos duas condições do teste de Leibniz:
  1. \lim_{n\to\infty} b_n = 0. Isso é claro porque b_n\sim 1/n^2\to0.
  2. b_n é (eventualmente) decrescente. Vamos mostrar b_{n+1}\le b_n para todo n\ge1.
Compare b_{n+1} e b_n:
b_{n+1}\le b_n \iff \frac{n+1}{(n+1)^3+1}\le\frac{n}{n^3+1}
que é equivalente (multiplicando denominadores positivos) a
(n+1)(n^3+1)\le n\big((n+1)^3+1\big).
Expandindo os dois lados:
  • Lado esquerdo: (n+1)(n^3+1)=n^4+n^3+n+1.
  • Lado direito: n((n+1)^3+1)=n(n^3+3n^2+3n+1)+n=n^4+3n^3+3n^2+2n.
Subtraindo, obtemos
\text{direito}-\text{esquerdo}=2n^3+3n^2+n-1,
que é positivo para todo n\ge1. Logo b_{n+1}\le b_n para todo n\ge1, isto é, b_n é decrescente a partir de n=1.
Portanto as condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série alternada converge (pelo teste de Leibniz). Note que a convergência em x=-1 é condicional (não absoluta), porque os módulos \sum b_n divergem? Na verdade \sum b_n converge também, pois \sum b_n \le \sum 1/n^2 — então é absolutamente convergente também. Observação: já no Passo 5 mostramos \sum b_n\le\sum 1/n^2, então aqui a convergência em -1 é também absoluta. Conclusão: x=-1 também pertence ao conjunto de convergência.
(Comentário rápido: tanto em x=1 quanto em x=-1 a série converge absolutamente porque os termos em módulo são majorados por 1/n^2.)

Passo 7

Conclusão: o raio de convergência é R=1 e o conjunto de convergência real é o intervalo fechado [-1,1] (convergência absoluta em toda a borda também neste caso).

Resposta

R=1
[-1,\,1]

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