Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo: (Valor: 0,80,4 cada)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a série de potências centrada em zero
- Determinar o raio de convergência
. - Determinar o intervalo (ou conjunto) de convergência na reta real (i.e., quais
fazem a série convergir).
Informações que o enunciado dá e que vamos usar: o
-ésimo coeficiente da série é
e a série é da forma
. Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Conceito e técnica que vamos usar (breve “aula”):
- Para uma série de potências
, o raio de convergência pode ser encontrado pela fórmula
Isto vem do teste da raiz aplicado à série em
. Se
, então converge para
e diverge para
.
- Depois de obter
, devemos testar os pontos limites e (quando é finito) separadamente, porque o teste da raiz não informa sobre convergência exatamente nos extremos. - Ferramentas úteis para testar extremos:
- Comparação assintótica: se
com , então converge (p-série). - Teste de Leibniz (série alternada): se
, e é eventualmente decrescente, então converge.
- Comparação assintótica: se
Passo 3
Calcular
para
.
Observação: para grandes
temos
. Mas precisamos da raiz
-ésima:
Usamos que
e também
. Logo o quociente das raízes tende a
. Mais formalmente, podemos escrever
pois
e dividido por
tende a
.
Portanto
Passo 4
Usar a fórmula do raio:
Então o raio de convergência é
. Isso significa que a série converge ao menos para
e diverge para
. Agora falta analisar os extremos
e
.
Passo 5
Analisar o extremo
.
Substituindo
obtemos a série numérica
Para testar convergência, comparemos com uma p-série. Para
,
A série
é convergente (é uma p-série com
). Assim, por comparação direta, a série com
converge absolutamente (porque seus termos são não-negativos e majorados por os termos de uma série convergente). Logo
pertence ao conjunto de convergência.
Passo 6
Analisar o extremo
.
Substituindo
obtemos a série alternada
Defina
(termos positivos). Verificamos duas condições do teste de Leibniz:
-
. Isso é claro porque . -
é (eventualmente) decrescente. Vamos mostrar para todo .
Compare
e
:
que é equivalente (multiplicando denominadores positivos) a
Expandindo os dois lados:
- Lado esquerdo:
. - Lado direito:
.
Subtraindo, obtemos
que é positivo para todo
. Logo
para todo
, isto é,
é decrescente a partir de
.
Portanto as condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série alternada converge (pelo teste de Leibniz). Note que a convergência em
é condicional (não absoluta), porque os módulos
divergem? Na verdade
converge também, pois
— então é absolutamente convergente também. Observação: já no Passo 5 mostramos
, então aqui a convergência em
é também absoluta. Conclusão:
também pertence ao conjunto de convergência.
(Comentário rápido: tanto em
quanto em
a série converge absolutamente porque os termos em módulo são majorados por
.)
Passo 7
Conclusão: o raio de convergência é
e o conjunto de convergência real é o intervalo fechado
(convergência absoluta em toda a borda também neste caso).