Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo: (Valor: 0,80,4 cada)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n \cdot x^{n}}{(n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n\;x^{n}}{(n+1)!}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{termo geral: }\; t_n(x)=\frac{2n}{(n+1)!}\,x^n.
A série é centrada em 0 (é uma série em potências de x). Não foi dada nenhuma outra condição — devemos decidir para quais valores de x essa soma converge.

Passo 2

Vou explicar a ferramenta principal que vamos usar: o teste da razão (ratio test) aplicado a séries de potências. Seja uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n.
Definimos os coeficientes a_n (aqui c=0). Para aplicar o teste da razão à série num ponto fixo x consideramos
L(x)=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n(x-c)^n}\right| =|x-c|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L(x)<1 a série converge absolutamente.
  • Se L(x)>1 a série diverge.
    Para séries de potências isso leva à definição do raio de convergência R: a série converge absolutamente para |x-c|<R, diverge para |x-c|>R. Quando existe o limite \ell=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, temos
R=\frac{1}{\ell}\quad(\text{com a convenção }1/0=\infty).çã
Outra forma equivalente (quando a razão entre coeficientes é mais simples) é calcular
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.
Vou aplicar essas fórmulas ao nosso caso.

Passo 3

Identificamos os coeficientes da série (os a_n da definição da série de potências centrada em 0):
a_n=\frac{2n}{(n+1)!}.
Vamos calcular a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} de forma bem passo a passo, usando propriedades de fatorial:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{2(n+1)}{(n+2)!}}{\dfrac{2n}{(n+1)!}} =\frac{2(n+1)}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{2n}.
Cancelando o 2 e usando (n+2)!=(n+2)(n+1)! obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+2)(n+1)!} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{n+2} =\frac{n+1}{n(n+2)}.

Passo 4

Agora calculamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}.
Para ver o comportamento para grandes n podemos dividir numerador e denominador por n^2 ou observar que o numerador é O(n) e o denominador é O(n^2), logo o quociente tende a 0. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}=0.

Passo 5

Aplicando o teste da razão aos termos da série no ponto x temos
\left|\frac{t_{n+1}(x)}{t_n(x)}\right| =|x|\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n} =|x|\cdot\frac{n+1}{n(n+2)}.
Tomando o limite n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{t_{n+1}(x)}{t_n(x)}\right| =|x|\cdot 0 = 0 \qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Como esse limite é 0<1 para qualquer x, o teste da razão garante que a série converge absolutamente para todo x.

Passo 6

Interpretação em termos do raio de convergência: como para todo x o teste da razão dá convergência absoluta, o raio de convergência é infinito. Podemos também ver isso pela fórmula
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|,
onde, usando o resultado do Passo 3,
\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n(n+2)}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty,
portanto R=\infty.

Passo 7

Conclusão sobre o intervalo de convergência: para séries de raio infinito o conjunto de x em que a série converge é todo o eixo real, isto é (-\infty,\infty). A convergência é na verdade absoluta para todo x.

Resposta

Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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