Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo: (Valor: 0,80,4 cada) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n \cdot x^{n}}{(n+1)!}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
A série é centrada em 0 (é uma série em potências de x). Não foi dada nenhuma outra condição — devemos decidir para quais valores de x essa soma converge.
Passo 2
Vou explicar a ferramenta principal que vamos usar: o teste da razão (ratio test) aplicado a séries de potências. Seja uma série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n.
Definimos os coeficientes a_n (aqui c=0). Para aplicar o teste da razão à série num ponto fixo x consideramos
Se L(x)>1 a série diverge.
Para séries de potências isso leva à definição do raio de convergência R: a série converge absolutamente para |x-c|<R, diverge para |x-c|>R. Quando existe o limite \ell=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, temos
R=\frac{1}{\ell}\quad(\text{com a convenção }1/0=\infty).çã
Outra forma equivalente (quando a razão entre coeficientes é mais simples) é calcular
Para ver o comportamento para grandes n podemos dividir numerador e denominador por n^2 ou observar que o numerador é O(n) e o denominador é O(n^2), logo o quociente tende a 0. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}=0.
Passo 5
Aplicando o teste da razão aos termos da série no ponto x temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{t_{n+1}(x)}{t_n(x)}\right| =|x|\cdot 0 = 0 \qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Como esse limite é 0<1 para qualquer x, o teste da razão garante que a série converge absolutamente para todo x.
Passo 6
Interpretação em termos do raio de convergência: como para todo x o teste da razão dá convergência absoluta, o raio de convergência é infinito. Podemos também ver isso pela fórmula
Conclusão sobre o intervalo de convergência: para séries de raio infinito o conjunto de x em que a série converge é todo o eixo real, isto é (-\infty,\infty). A convergência é na verdade absoluta para todo x.
Resposta
Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)