Dado um número complexo
, o seu conjugado é o número complexo
.
Resolva as equações:
.
Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado dá que
e que o conjugado é
. Pede para resolver o sistema formado por
e
Lista das informações relevantes:
,
, e as duas equações acima. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Trabalhando a primeira equação. Lembra que multiplicar um número complexo pelo seu conjugado dá o quadrado do módulo. Vamos calcular diretamente:
Como
, obtemos a condição real
Interpretação: o ponto
está sobre o círculo de raio
centrado na origem.
Passo 3
Agora a segunda equação. Escrevemos-a como diferença de quadrados:
Fatorando diferença de quadrados,
Como produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero.
Passo 4
Calculemos os fatores em termos de
e
. Temos
e
Portanto a fatoração dá
Como
e
, segue
Isto significa que ou
ou
.
Passo 5
Resolvemos os dois casos juntamente com
.
Caso A:
. Então
, logo
Assim as soluções neste caso são
e
.
Caso B:
. Então
, logo
Assim as soluções neste caso são
e
.
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro): para
temos
, então
e
. Para
temos
, então
e
, logo
; além disso
. Todas as quatro candidatas satisfazem as duas equações.