Dado um número complexo z=x+i y, o seu conjugado é o número complexo \mathrm{z}=\mathrm{x}-\mathrm{iy}.
Resolva as equações: z \cdot \bar{z}=4 \mathrm{e}(\bar{z})^{2}=z^{2}.

Passo 1

O enunciado dá que z=x+iy e que o conjugado é \bar{z}=x-iy. Pede para resolver o sistema formado por
z\cdot\bar{z}=4
e
(\bar{z})^{2}=z^{2}.
Lista das informações relevantes: z=x+iy, \bar{z}=x-iy, e as duas equações acima. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Trabalhando a primeira equação. Lembra que multiplicar um número complexo pelo seu conjugado dá o quadrado do módulo. Vamos calcular diretamente:
z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}.
Como z\bar{z}=4, obtemos a condição real
x^{2}+y^{2}=4.
Interpretação: o ponto (x,y) está sobre o círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Agora a segunda equação. Escrevemos-a como diferença de quadrados:
(\bar{z})^{2}-z^{2}=0.
Fatorando diferença de quadrados,
(\bar{z}-z)(\bar{z}+z)=0.
Como produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero.

Passo 4

Calculemos os fatores em termos de x e y. Temos
\bar{z}-z=(x-iy)-(x+iy)=-2iy
e
\bar{z}+z=(x-iy)+(x+iy)=2x.
Portanto a fatoração dá
(-2iy)(2x)=0 \quad\Longrightarrow\quad -4ixy=0.
Como i\neq 0 e -4\neq 0, segue
xy=0.
Isto significa que ou x=0 ou y=0.

Passo 5

Resolvemos os dois casos juntamente com x^{2}+y^{2}=4.
Caso A: x=0. Então 0^{2}+y^{2}=4, logo
y^{2}=4\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2.
Assim as soluções neste caso são \;z=2i e \;z=-2i.
Caso B: y=0. Então x^{2}+0^{2}=4, logo
x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Assim as soluções neste caso são \;z=2 e \;z=-2.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): para z=\pm 2 temos \bar{z}=z, então (\bar{z})^{2}=z^{2} e z\bar{z}=x^{2}=4. Para z=\pm 2i temos \bar{z}=\mp 2i, então (\bar{z})^{2}=(-2i)^{2}=(-2i)^{2}= -4 e z^{2}=(2i)^{2}=-4, logo (\bar{z})^{2}=z^{2}; além disso z\bar{z}= (2i)(-2i)=4. Todas as quatro candidatas satisfazem as duas equações.

Resposta

z=2
z=-2
z=2i
z=-2i

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