Qual é a representação geométrica dos números complexos
yi tais que
. R: Reta
Passo 1
O enunciado pede a representação geométrica dos números complexos
que satisfazem a equação
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
, com . -
(conjugado de ). - Condição a verificar:
.
Objetivo: descrever, no plano complexo (plano), o conjunto de pontos que cumprem essa igualdade.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a fração
. Primeiro, substituímos
e
:
Para simplificar uma fração com denominador complexo, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, neste caso
. Assim:
Passo 3
Calculemos numerador e denominador separadamente. O denominador é
pois é a soma de quadrados. O numerador é
Portanto a fração fica
com a ressalva de que
(não podemos dividir por zero), ou seja,
.
Passo 4
Queremos que essa expressão seja igual a
. Escrevendo
em parte real e imaginária:
Assim, ao comparar partes real e imaginária obtemos o sistema
com
.
Passo 5
Da primeira equação
segue
, portanto
Agora testamos essas duas possibilidades na segunda equação.
Se
, então
o que contradiz a necessidade de ser
. Logo
.
Se
, então
o que satisfaz a segunda equação, desde que
(novamente para garantir
). Portanto todas as soluções têm
com
.
Passo 6
Interpretação geométrica: a equação
é a reta que passa pela origem com inclinação
(linha a 45° no segundo/ quarto quadrante). Como
(ou seja
) não é permitido (divisão por zero), devemos excluir a origem. Logo o conjunto é a reta
sem o ponto
.
Resposta
Reta
, excluindo a origem
(ou seja, todos os
com
e
).