Qual é a representação geométrica dos números complexos z= \mathrm{x}+ yi tais que \frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}}=-\mathrm{i}. R: Reta \mathrm{y}=-\mathrm{x}

Passo 1

O enunciado pede a representação geométrica dos números complexos z = x + yi que satisfazem a equação \dfrac{z}{\overline{z}} = -i.
Informações dadas:
  • z = x + yi, com x,y\in\mathbb{R}.
  • \overline{z} = x - yi (conjugado de z).
  • Condição a verificar: \dfrac{z}{\overline{z}} = -i.
    Objetivo: descrever, no plano complexo (plano xy), o conjunto de pontos (x,y) que cumprem essa igualdade.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a fração \dfrac{z}{\overline{z}}. Primeiro, substituímos z e \overline{z}:
\frac{z}{\overline{z}}=\frac{x+yi}{x-yi}.
Para simplificar uma fração com denominador complexo, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, neste caso x+yi. Assim:
\frac{x+yi}{x-yi}=\frac{(x+yi)^2}{(x-yi)(x+yi)}.

Passo 3

Calculemos numerador e denominador separadamente. O denominador é
(x-yi)(x+yi)=x^2+y^2,
pois é a soma de quadrados. O numerador é
(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xy\,i.
Portanto a fração fica
\frac{z}{\overline{z}}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2},
com a ressalva de que x^2+y^2\neq0 (não podemos dividir por zero), ou seja, z\neq0.

Passo 4

Queremos que essa expressão seja igual a -i. Escrevendo -i em parte real e imaginária:
-i = 0 + i(-1).
Assim, ao comparar partes real e imaginária obtemos o sistema
\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=0, \qquad \frac{2xy}{x^2+y^2}=-1,
com x^2+y^2\neq0.

Passo 5

Da primeira equação \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=0 segue x^2-y^2=0, portanto
x^2=y^2\quad\Rightarrow\quad y=\pm x.
Agora testamos essas duas possibilidades na segunda equação.
Se y=x, então
\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{2x^2}{2x^2}=1,
o que contradiz a necessidade de ser -1. Logo y\neq x.
Se y=-x, então
\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{2x(-x)}{x^2+(-x)^2}=\frac{-2x^2}{2x^2}=-1,
o que satisfaz a segunda equação, desde que x\neq0 (novamente para garantir x^2+y^2\neq0). Portanto todas as soluções têm y=-x com x\neq0.

Passo 6

Interpretação geométrica: a equação y=-x é a reta que passa pela origem com inclinação -1 (linha a 45° no segundo/ quarto quadrante). Como z=0 (ou seja x=y=0) não é permitido (divisão por zero), devemos excluir a origem. Logo o conjunto é a reta y=-x sem o ponto (0,0).

Resposta

Reta \,y=-x, excluindo a origem (0,0) (ou seja, todos os z com y=-x e z\neq0).

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