Dado o número positivo \epsilon=0,001 e o limite l=0 da função f=\frac{1}{x^{2}} em +\infty. Encontre um número positivo N tal que |f(x)-l|<\epsilon se x>N.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos \epsilon=0,001.
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • O limite pedido é l=0 quando x\to+\infty.
    O que precisamos encontrar: um número positivo N tal que, sempre que x>N, valha |f(x)-l|<\epsilon. Ou seja, queremos N>0 com a propriedade
\text{se }x>N\text{ então } \left|\dfrac{1}{x^{2}}-0\right|<0,001.ã

Passo 2

Lembrete da definição (em palavras simples): dizer que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0 significa que para cada \epsilon>0 existe um N>0 tal que, sempre que x>N, temos |f(x)-0|<\epsilon. Nosso trabalho é, para o \epsilon dado, explicitar um N que funciona.

Passo 3

Escrevendo a desigualdade que queremos satisfazer:
\left|\dfrac{1}{x^{2}}-0\right|<\epsilon.
Como estamos tratando x\to+\infty e procuramos x>N com N>0, consideramos x>0. Para x>0 o valor absoluto simplifica:
\left|\dfrac{1}{x^{2}}\right|=\dfrac{1}{x^{2}}.
Então a condição vira
\dfrac{1}{x^{2}}<\epsilon.

Passo 4

Agora manipulamos a desigualdade de forma rigorosa, lembrando que todos os termos são positivos:
\dfrac{1}{x^{2}}<\epsilon \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}>\dfrac{1}{\epsilon},
porque ao inverter ambos os lados de uma desigualdade entre números positivos a desigualdade se inverte, e aqui fizemos isso implicitamente passando x^{2} para o outro membro.

Passo 5

Como estamos com x>0, podemos tirar raiz quadrada dos dois lados sem preocupar com sinal:
x>\sqrt{\dfrac{1}{\epsilon}}.
Portanto qualquer escolha de N que satisfaça
N\ge \sqrt{\dfrac{1}{\epsilon}}
funciona: se x>N\ge\sqrt{1/\epsilon} então x>\sqrt{1/\epsilon} e assim \dfrac{1}{x^{2}}<\epsilon.

Passo 6

Aplicando ao valor numérico \epsilon=0,001:
\dfrac{1}{\epsilon}=\dfrac{1}{0,001}=1000,
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\sqrt{\dfrac{1}{\epsilon}}=\sqrt{1000}=\sqrt{100\cdot 10}=10\sqrt{10}\approx 31{,}6227766\ldots
Assim uma escolha conveniente e exata é
N=10\sqrt{10}.
Se preferir um número inteiro, qualquer N\ge 32 também serve (por exemplo N=32).

Resposta

N=10\sqrt{10}

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