Em cada caso, identifique o domínio e a imagem da função e, então, esboce o gráfico da função.
f(x)=e^{-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=e^{-x^{2}}:
  • identificar o domínio;
  • identificar a imagem (conjunto de valores que f assume);
  • esboçar o gráfico da função.
Informações dadas (a partir do enunciado):
  • A função é f(x)=e^{-x^{2}}. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Entender onde a função está definida (domínio).
Explicação passo a passo: a função exponencial e^{t} está definida para todo número real t. Aqui o expoente é -x^{2}, que é um polinômio (uma função x\mapsto -x^{2}) também definido para todo x\in\mathbb{R}. Quando se compõe uma função exponencial com um polinômio, o resultado está definido para todo real.
Portanto, o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 3

Observar sinal e valores possíveis de f.
A propriedade básica da exponencial: para qualquer real t vale e^{t}>0. Aqui t=-x^{2} é real para todo x, então
f(x)=e^{-x^{2}}>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isso mostra que f nunca atinge valores negativos nem o zero; todos os valores de f são positivos. Ainda não sabemos se 0 é atingido como limite (provavelmente não), e precisamos achar o máximo e verificar os limites para x\to\pm\infty.

Passo 4

Calcular alguns valores-chave para ter intuição.
  • Em x=0: f(0)=e^{-(0)^{2}}=e^{0}=1.
  • Em x=1: f(1)=e^{-1}\approx 0,3679.
  • Em x=2: f(2)=e^{-4}\approx 0,0183.
Esses cálculos mostram que em x=0 a função tem valor maior do que em x=1 e x=2; isto sugere um máximo em x=0 e decaimento rápido para valores grandes de |x|.

Passo 5

Estudar derivada para encontrar extremos e monotonicidade (como fazer na prova).
Fórmula e porquê: a derivada de e^{g(x)} é g'(x)\,e^{g(x)}. Aqui g(x)=-x^{2} e g'(x)=-2x. Então:
f'(x)=(-2x)\,e^{-x^{2}}.
Analisar o sinal de f'(x): como e^{-x^{2}}>0 sempre, o sinal de f'(x) é o mesmo que o sinal de -2x. Então:
  • Se x>0 então -2x<0 logo f'(x)<0: f é decrescente para x>0.
  • Se x<0 então -2x>0 logo f'(x)>0: f é crescente para x<0.
  • Em x=0 tem-se f'(0)=0, ponto crítico.
Portanto x=0 é um candidato a máximo (crescente à esquerda, decrescente à direita).

Passo 6

Confirmar que x=0 é máximo (teste da segunda derivada).
Calcular a segunda derivada usando regras de derivação:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl((-2x)e^{-x^{2}}\bigr).
Fazendo o produto:
f''(x)=(-2)\,e^{-x^{2}} + (-2x)\cdot\bigl(-2x e^{-x^{2}}\bigr).
Agrupando fatores:
f''(x)=\bigl(-2 + 4x^{2}\bigr)e^{-x^{2}}.
Avaliar em x=0:
f''(0)=\bigl(-2+0\bigr)e^{0}=-2<0.
Segundo derivada negativa em 0 indica máximo local; como é o único ponto crítico e a função decresce para x>0 e cresce para x<0, esse é o máximo global. O valor máximo é f(0)=1.

Passo 7

Analisar comportamento quando |x|\to\infty (importante para a imagem).
Como x^{2}\to\infty quando |x|\to\infty, o expoente -x^{2}\to -\infty. E \lim_{t\to-\infty}e^{t}=0. Portanto
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty} e^{-x^{2}}=0.
Isso mostra que 0 é um limite inferior assintótico: f(x) aproxima-se de 0 mas nunca o atinge (já vimos em

Passo 8

Concluir qual é a imagem (intervalo de valores efetivamente atingidos).
Temos:
  • Máximo global f(0)=1, logo 1 pertence à imagem.
  • f(x)>0 para todo x, e \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 (zero não é atingido).
Portanto a imagem é o intervalo aberto em baixo e fechado em cima:
\text{imagem} = (0,\,1].

Passo 9

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer rápido na prova).
  1. Faça um par de eixos x e y. Marque o ponto (0,1) — é o pico da curva.
  2. A função é par (simétrica em relação ao eixo y): observe que f(-x)=e^{-(-x)^{2}}=e^{-x^{2}}=f(x). Então desenhe a mesma forma à esquerda e à direita de y-axis.
  3. Para x>0 a curva decresce; para x<0 aumenta (pela análise da derivada).
  4. Trace uma curva em forma de sino (gaussiana) que passa por (0,1), que em x=1 já está em y=e^{-1}\approx0,3679 e em x=2 em y\approx0,0183. A curva aproxima-se do eixo x quando |x| cresce, sem nunca tocá-lo (assíntota horizontal y=0).
  5. Não existe assíntota horizontal além do fato de que y\to0 quando |x|\to\infty; desenhe a curva tendendo a y=0 de forma suave.
Esses passos permitem um esboço correto e rápido: um “sino” simétrico com pico em (0,1) e caudas que vão para y=0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,\,1]

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