Em cada caso, identifique o domínio e a imagem da função e, então, esboce o gráfico da função.
.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
:
- identificar o domínio;
- identificar a imagem (conjunto de valores que
assume); - esboçar o gráfico da função.
Informações dadas (a partir do enunciado):
- A função é
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Entender onde a função está definida (domínio).
Explicação passo a passo: a função exponencial está definida para todo número real
. Aqui o expoente é
, que é um polinômio (uma função
) também definido para todo
. Quando se compõe uma função exponencial com um polinômio, o resultado está definido para todo real.
Portanto, o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Explicação passo a passo: a função exponencial
Portanto, o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Observar sinal e valores possíveis de
.
A propriedade básica da exponencial: para qualquer real vale
. Aqui
é real para todo
, então
A propriedade básica da exponencial: para qualquer real
Isso mostra que
nunca atinge valores negativos nem o zero; todos os valores de
são positivos. Ainda não sabemos se 0 é atingido como limite (provavelmente não), e precisamos achar o máximo e verificar os limites para
.
Passo 4
Calcular alguns valores-chave para ter intuição.
- Em
: - Em
: - Em
:
Esses cálculos mostram que em
a função tem valor maior do que em
e
; isto sugere um máximo em
e decaimento rápido para valores grandes de
.
Passo 5
Estudar derivada para encontrar extremos e monotonicidade (como fazer na prova).
Fórmula e porquê: a derivada de é
. Aqui
e
. Então:
Fórmula e porquê: a derivada de
Analisar o sinal de
: como
sempre, o sinal de
é o mesmo que o sinal de
. Então:
- Se
então logo : é decrescente para . - Se
então logo : é crescente para . - Em
tem-se , ponto crítico.
Portanto
é um candidato a máximo (crescente à esquerda, decrescente à direita).
Passo 6
Confirmar que
é máximo (teste da segunda derivada).
Calcular a segunda derivada usando regras de derivação:
Calcular a segunda derivada usando regras de derivação:
Fazendo o produto:
Agrupando fatores:
Avaliar em
:
Segundo derivada negativa em
indica máximo local; como é o único ponto crítico e a função decresce para
e cresce para
, esse é o máximo global. O valor máximo é
.
Passo 7
Analisar comportamento quando
(importante para a imagem).
Como quando
, o expoente
. E
. Portanto
Como
Isso mostra que
é um limite inferior assintótico:
aproxima-se de
mas nunca o atinge (já vimos em
Passo 8
Concluir qual é a imagem (intervalo de valores efetivamente atingidos).
Temos:
Temos:
- Máximo global
, logo pertence à imagem. -
para todo , e (zero não é atingido).
Portanto a imagem é o intervalo aberto em baixo e fechado em cima:
Passo 9
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer rápido na prova).
- Faça um par de eixos
e . Marque o ponto — é o pico da curva. - A função é par (simétrica em relação ao eixo
): observe que . Então desenhe a mesma forma à esquerda e à direita de -axis. - Para
a curva decresce; para aumenta (pela análise da derivada). - Trace uma curva em forma de sino (gaussiana) que passa por
, que em já está em e em em . A curva aproxima-se do eixo quando cresce, sem nunca tocá-lo (assíntota horizontal ). - Não existe assíntota horizontal além do fato de que
quando ; desenhe a curva tendendo a de forma suave.
Esses passos permitem um esboço correto e rápido: um “sino” simétrico com pico em
e caudas que vão para
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: