Em cada caso, identifique o domínio e a imagem da função e, então, esboce o gráfico da função.
f(x)=1+\ln (x-2);

Passo 1

O enunciado pede três coisas: identificar o domínio, identificar a imagem (alcance, range) e esboçar o gráfico da função
f(x)=1+\ln(x-2).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está dada explicitamente por f(x)=1+\ln(x-2).
  • Não há figura adicional nem restrição extra além da fórmula.

Passo 2

Determinar o domínio: lembrar a condição para logaritmos naturais.
  • A função \ln(t) só está definida quando t>0.
  • Aqui o argumento do logaritmo é x-2. Logo precisamos de
x-2>0.
  • Resolvendo isso obtemos x>2. Portanto todos os x estritamente maiores que 2 estão no domínio, e x=2 não pertence porque levaria a \ln 0 (indefinido).
  • Conclusão do domínio: \,(2,\infty).

Passo 3

Determinar a imagem (range) usando propriedades do \ln e limites.
  • Propriedade chave: \ln mapeia (0,\infty) em (-\infty,\infty), isto é, \ln assume todos os valores reais.
  • A função dada é f(x)=1+\ln(x-2), que é simplesmente a função \ln(x-2) deslocada verticalmente para cima em 1.
  • Calcular os limites nas extremidades do domínio para ver o comportamento:
\lim_{x\to 2^+}\ln(x-2)=-\infty\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 2^+}f(x)=-\infty,
\lim_{x\to\infty}\ln(x-2)=\infty\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.
  • Como f(x) tende a -\infty quando x se aproxima de 2 pela direita e tende a +\infty quando x\to\infty, e \ln é contínua no domínio, f assume todo valor real.
  • Conclusão da imagem: \,(-\infty,\infty) (ou \mathbb{R}).

Passo 4

Pontos úteis para esboçar o gráfico (calcular alguns valores para ancoragem).
  • Para x=3: \;f(3)=1+\ln(3-2)=1+\ln 1=1+0=1. Então o ponto (3,1) pertence ao gráfico.
  • Raiz (interseção com o eixo x): resolver f(x)=0:
1+\ln(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad \ln(x-2)=-1 \quad\Rightarrow\quad x-2=e^{-1}.
Assim x=2+e^{-1}. O gráfico corta o eixo x em \bigl(2+e^{-1},\,0\bigr).
  • Outro ponto: para x=2+e: \;f(2+e)=1+\ln e=1+1=2. Então (2+e,2) é um ponto do gráfico.

Passo 5

Assíntotas e comportamento global.
  • Há uma assíntota vertical na reta x=2 porque quando x\to2^+ a função vai para -\infty.
  • Não há assíntota horizontal; à medida que x\to\infty, f(x)\to\infty (cresce indefinidamente, embora lentamente).
  • A curva é um deslocamento da curva padrão y=\ln x: desloca-se 2 unidades para a direita (por causa de x-2) e 1 unidade para cima (por causa do +1).

Passo 6

Monotonicidade e concavidade — entender a forma do gráfico.
  • Derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1+\ln(x-2)\bigr)=\frac{1}{x-2}.
Como no domínio x>2 temos x-2>0, segue que f'(x)>0 para todo x no domínio. Portanto f é estritamente crescente em (2,\infty).
  • Derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x-2}\right)=-\frac{1}{(x-2)^2}<0\quad\text{para }x>2.
Logo a curva é côncava para baixo em todo o domínio.
  • Interpretação: o gráfico sobe continuamente (sem “altos e baixos”), mas a taxa de subida diminui (curva vai ficando menos inclinada) — típico de um logaritmo.

Passo 7

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático — faça à mão na prova).
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque a assíntota vertical x=2 como uma linha tracejada.
  3. Marque o ponto de interseção com o eixo x em x=2+e^{-1} (escreva aproximadamente 2{,}3679 se quiser num valor numérico) e o ponto (3,1) e o ponto (2+e,2) (aprox. 2+2{,}718\approx4{,}718).
  4. Desenhe uma curva que, vindo da direita da assíntota x=2, sai de -\infty, passa por (2+e^{-1},0), por (3,1), continua subindo indefinidamente, sempre com concavidade para baixo. Certifique-se de que a curva fica perto da assíntota quando x está pouco maior que 2 e sobe devagar para a direita.
  5. Etiquete a função com f(x)=1+\ln(x-2).
Dica prática: pense em começar desenhando y=\ln x e então deslocar 2 unidades para a direita e 1 unidade para cima — isso dá o mesmo resultado.

Resposta

Domínio: (2,\infty)
Imagem: (-\infty,\infty)

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