Em cada caso, identifique o domínio e a imagem da função e, então, esboce o gráfico da função.
;
Passo 1
O enunciado pede três coisas: identificar o domínio, identificar a imagem (alcance, range) e esboçar o gráfico da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função está dada explicitamente por
. - Não há figura adicional nem restrição extra além da fórmula.
Passo 2
Determinar o domínio: lembrar a condição para logaritmos naturais.
- A função
só está definida quando . - Aqui o argumento do logaritmo é
. Logo precisamos de
- Resolvendo isso obtemos
. Portanto todos os estritamente maiores que estão no domínio, e não pertence porque levaria a (indefinido). - Conclusão do domínio:
.
Passo 3
Determinar a imagem (range) usando propriedades do
e limites.
- Propriedade chave:
mapeia em , isto é, assume todos os valores reais. - A função dada é
, que é simplesmente a função deslocada verticalmente para cima em . - Calcular os limites nas extremidades do domínio para ver o comportamento:
- Como
tende a quando se aproxima de pela direita e tende a quando , e é contínua no domínio, assume todo valor real. - Conclusão da imagem:
(ou ).
Passo 4
Pontos úteis para esboçar o gráfico (calcular alguns valores para ancoragem).
- Para
: . Então o ponto pertence ao gráfico. - Raiz (interseção com o eixo
): resolver :
Assim
. O gráfico corta o eixo
em
.
- Outro ponto: para
: . Então é um ponto do gráfico.
Passo 5
Assíntotas e comportamento global.
- Há uma assíntota vertical na reta
porque quando a função vai para . - Não há assíntota horizontal; à medida que
, (cresce indefinidamente, embora lentamente). - A curva é um deslocamento da curva padrão
: desloca-se 2 unidades para a direita (por causa de ) e 1 unidade para cima (por causa do ).
Passo 6
Monotonicidade e concavidade — entender a forma do gráfico.
- Derivada primeira:
Como no domínio
temos
, segue que
para todo
no domínio. Portanto
é estritamente crescente em
.
- Derivada segunda:
Logo a curva é côncava para baixo em todo o domínio.
- Interpretação: o gráfico sobe continuamente (sem “altos e baixos”), mas a taxa de subida diminui (curva vai ficando menos inclinada) — típico de um logaritmo.
Passo 7
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático — faça à mão na prova).
- Desenhe os eixos
e . - Marque a assíntota vertical
como uma linha tracejada. - Marque o ponto de interseção com o eixo
em (escreva aproximadamente se quiser num valor numérico) e o ponto e o ponto (aprox. ). - Desenhe uma curva que, vindo da direita da assíntota
, sai de , passa por , por , continua subindo indefinidamente, sempre com concavidade para baixo. Certifique-se de que a curva fica perto da assíntota quando está pouco maior que e sobe devagar para a direita. - Etiquete a função com
.
Dica prática: pense em começar desenhando
e então deslocar 2 unidades para a direita e 1 unidade para cima — isso dá o mesmo resultado.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: