Dado o número positivo
e o limite
da função
em
. Encontre um número negativo
tal que
se
.
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede o seguinte (tudo o que segue foi retirado do enunciado):
- Temos
. - A função é
. - Sabe-se que o limite de
quando é . - O que se pede: encontrar um número negativo
tal que
Passo 2
Primeiro vamos expressar explicitamente a diferença
e simplificá‑la passo a passo.
Calculemos a diferença:
Juntando em um único quociente:
Desenvolvendo o numerador:
Portanto
Tomando valor absoluto:
Observação importante (segurança): precisamos que
, i.e.
. Como vamos escolher
muito negativo, isso não será problema.
Passo 3
Queremos garantir
ou seja, usando a expressão encontrada,
Essa desigualdade é equivalente a
Agora tratamos o caso de interesse: buscamos
negativo e queremos a condição para
. Para
bem negativo (em particular para qualquer
) tem-se
, portanto
Assim, para
a desigualdade fica
Passo 4
Resolvendo a desigualdade anterior para
:
Agora substituímos
. Primeiro calcule:
Logo
Portanto o limite para
é
Isso significa que qualquer
menor que
satisfaz
. Note que
, então a hipótese usada acima é válida.
Passo 5
Conclusão prática: podemos escolher como número
qualquer valor negativo menor ou igual a
. Por simplicidade, uma escolha inteira válida é
, mas a expressão exata encontrada foi
.