Dado o número positivo \epsilon=0,001 e o limite l=2 da função f=\frac{4 x-1}{2 x+1} em -\infty. Encontre um número negativo N tal que |f(x)-l|<\epsilon se x<N.

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte (tudo o que segue foi retirado do enunciado):
  • Temos \epsilon = 0,001.
  • A função é f(x)=\dfrac{4x-1}{2x+1}.
  • Sabe-se que o limite de f(x) quando x \to -\infty é l=2.
  • O que se pede: encontrar um número negativo N tal que
|f(x)-l|<\epsilon\quad\text{sempre que}\quad x<N.

Passo 2

Primeiro vamos expressar explicitamente a diferença f(x)-l e simplificá‑la passo a passo.
Calculemos a diferença:
f(x)-l=\frac{4x-1}{2x+1}-2.
Juntando em um único quociente:
\frac{4x-1}{2x+1}-2=\frac{4x-1-2(2x+1)}{2x+1}.
Desenvolvendo o numerador:
4x-1-2(2x+1)=4x-1-4x-2=-3.
Portanto
f(x)-l=\frac{-3}{2x+1}.
Tomando valor absoluto:
|f(x)-l|=\frac{3}{|2x+1|}.
Observação importante (segurança): precisamos que 2x+1\neq0, i.e. x\neq -\tfrac{1}{2}. Como vamos escolher N muito negativo, isso não será problema.

Passo 3

Queremos garantir
|f(x)-l|<\epsilon,
ou seja, usando a expressão encontrada,
\frac{3}{|2x+1|}<\epsilon.
Essa desigualdade é equivalente a
|2x+1|>\frac{3}{\epsilon}.
Agora tratamos o caso de interesse: buscamos N negativo e queremos a condição para x<N. Para x bem negativo (em particular para qualquer x<-\tfrac{1}{2}) tem-se 2x+1<0, portanto
|2x+1|=-(2x+1)=-2x-1.
Assim, para x<-\tfrac{1}{2} a desigualdade fica
-2x-1>\frac{3}{\epsilon}.

Passo 4

Resolvendo a desigualdade anterior para x:
-2x-1>\frac{3}{\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad -2x>\frac{3}{\epsilon}+1 \quad\Longrightarrow\quad x<-\left(\frac{3}{2\epsilon}+\frac{1}{2}\right).
Agora substituímos \epsilon=0,001. Primeiro calcule:
\frac{3}{\epsilon}=\frac{3}{0,001}=3000.
Logo
\frac{3}{2\epsilon}=\frac{3000}{2}=1500.
Portanto o limite para x é
x<-\left(1500+\tfrac{1}{2}\right)=-1500,5.
Isso significa que qualquer x menor que -1500,5 satisfaz |f(x)-l|<\epsilon. Note que -1500,5<-\tfrac{1}{2}, então a hipótese usada acima é válida.

Passo 5

Conclusão prática: podemos escolher como número N qualquer valor negativo menor ou igual a -1500,5. Por simplicidade, uma escolha inteira válida é N=-1501, mas a expressão exata encontrada foi -1500,5.

Resposta

-1500,5

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