São dados um número positivo \epsilon e o limite l de uma função f no ponto a. Encontre um número \delta tal que |f(x)-l|<\epsilon se 0<|x-a|<\delta. \lim _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{4 x^{2}-1}{2 x+1}=-2 ; \quad \epsilon=0,01
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: a função
f(x)=\frac{4x^{2}-1}{2x+1}
Ponto onde o limite é tomado: a=-\tfrac{1}{2}.
Limite informado: l=-2, isto é \lim_{x\to -\tfrac{1}{2}} f(x)=-2.
Valor de \epsilon dado: \epsilon=0,01.
O que o problema pede: encontrar um número \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta (ou seja 0<|x+\tfrac{1}{2}|<\delta), então |f(x)-l|<\epsilon. Neste caso, achar \delta que garanta |f(x)+2|<0,01 quando 0<|x+\tfrac{1}{2}|<\delta.
Passo 2
Recordando a ideia que vamos usar (definição \epsilon-\delta, explicada de forma simples):
Precisamos relacionar |f(x)-l| com |x-a|. Ou seja, manipular |f(x)+2| de modo a expressá‑la em função de |x+\tfrac{1}{2}|.
Depois escolhemos \delta de forma que a desigualdade pedida seja satisfeita.
Nada complicado — só transformar algebricamente e isolar |x+\tfrac{1}{2}|.
Passo 3
Simplificar a expressão f(x) para x\neq -\tfrac{1}{2} (podemos fazer isso porque a definição do limite usa 0<|x-a|, ou seja, x diferente de a).
Fatorem 4x^{2}-1:
4x^{2}-1=(2x-1)(2x+1).
Logo, para x\neq -\tfrac{1}{2},
f(x)=\frac{(2x-1)(2x+1)}{2x+1}=2x-1.
Isso significa que, fora do ponto x=-\tfrac{1}{2}, a função coincide com a reta 2x-1. Portanto a diferença para o limite fica simples de calcular.
Passo 4
Calcular |f(x)-l| usando f(x)=2x-1 (para x\neq -\tfrac{1}{2}) e l=-2:
|f(x)-l|=|2x-1-(-2)|=|2x+1|.
Escrevendo em termos de x+\tfrac{1}{2}:
|2x+1|=2\left|x+\tfrac{1}{2}\right|.
Portanto, a condição |f(x)-l|<\epsilon é equivalente a
2\left|x+\tfrac{1}{2}\right|<\epsilon.
Passo 5
Isolar |x+\tfrac{1}{2}|:
\left|x+\tfrac{1}{2}\right|<\frac{\epsilon}{2}.
Assim, qualquer \delta que satisfaça \delta\le \dfrac{\epsilon}{2} funciona: se 0<|x+\tfrac{1}{2}|<\delta\le \dfrac{\epsilon}{2}, então automaticamente 2|x+\tfrac{1}{2}|<\epsilon, ou seja |f(x)-l|<\epsilon.
Uma escolha simples e natural é
\delta=\frac{\epsilon}{2}.
Passo 6
Aplicando ao valor numérico dado \epsilon=0,01:
\delta=\frac{\epsilon}{2}=\frac{0,01}{2}=0,005.
Verificação rápida: se 0<|x+\tfrac{1}{2}|<0,005 então