Dado operador linear T(x, y, z)=(x+y,-x+z, x+y-z), encontrar a matriz representativa do operador T , na base canônica do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(x+y,\,-x+z,\,x+y-z).
A pergunta é: encontrar a matriz representativa de T na base canônica de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de T para um vetor genérico (x,y,z).
  • A base em que queremos a matriz é a base canônica \big\{e_1,e_2,e_3\big\}, onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).

Passo 2

Conceito prático (passo-a-passo do que faremos): para obter a matriz de um operador linear na base canônica, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica e colocar essas imagens como colunas da matriz.
Explicação por que isso funciona (sem pular etapas): seja um vetor genérico
v = x e_1 + y e_2 + z e_3.
Pela linearidade de T,
T(v) = x\,T(e_1) + y\,T(e_2) + z\,T(e_3).
Portanto, se montarmos a matriz A cujas colunas são os vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3), então a multiplicação matricial
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}
dá exatamente T(v). É por isso que as colunas da matriz representativa são as imagens dos vetores da base.]

Passo 3

Calcular T(e_1). Substituir (x,y,z)=(1,0,0) na fórmula de T:
T(1,0,0) = (1+0,\,-1+0,\;1+0-0) = (1,\,-1,\;1).
Portanto T(e_1) = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular T(e_2). Substituir (x,y,z)=(0,1,0):
T(0,1,0) = (0+1,\,-0+0,\;0+1-0) = (1,\;0,\;1).
Logo T(e_2) = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular T(e_3). Substituir (x,y,z)=(0,0,1):
T(0,0,1) = (0+0,\,-0+1,\;0+0-1) = (0,\;1,\;-1).
Assim T(e_3) = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar a matriz cujas colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3). Assim a matriz representativa de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (para consolidar a ideia): aplicando A ao vetor \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\[4pt] -\,x+z\\[4pt] x+y-z \end{pmatrix},
que coincide com T(x,y,z), confirmando que a matriz está correta. Força aí — esse procedimento de “calcular imagens dos vetores da base” é a receita que cai sempre na prova.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}]

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