Dado operador linear T(x, y, z)=(x+y,-x+z, x+y-z), encontrar a matriz representativa do operador T , na base canônica do \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(x+y,\,-x+z,\,x+y-z).
A pergunta é: encontrar a matriz representativa de T na base canônica de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes fornecidas:
A fórmula explícita de T para um vetor genérico (x,y,z).
A base em que queremos a matriz é a base canônica \big\{e_1,e_2,e_3\big\}, onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Passo 2
Conceito prático (passo-a-passo do que faremos): para obter a matriz de um operador linear na base canônica, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica e colocar essas imagens como colunas da matriz.
Explicação por que isso funciona (sem pular etapas): seja um vetor genérico
v = x e_1 + y e_2 + z e_3.
Pela linearidade de T,
T(v) = x\,T(e_1) + y\,T(e_2) + z\,T(e_3).
Portanto, se montarmos a matriz A cujas colunas são os vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3), então a multiplicação matricial
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}
dá exatamente T(v). É por isso que as colunas da matriz representativa são as imagens dos vetores da base.]
Passo 3
Calcular T(e_1). Substituir (x,y,z)=(1,0,0) na fórmula de T:
que coincide com T(x,y,z), confirmando que a matriz está correta. Força aí — esse procedimento de “calcular imagens dos vetores da base” é a receita que cai sempre na prova.]