Exemplo 23: Sejam
e
definidas por:
Encontre as matrizes canônicas das compostas
e
Passo 1
O enunciado dá duas transformações de
e pede as matrizes canônicas (na base padrão) das compostas
e
. As informações fornecidas são:
O que se pede:
- A matriz canônica de
. - A matriz canônica de
.
Passo 2
Lembrete prático (como obter matriz canônica): tomar a base canônica
. A matriz canônica de uma transformação linear tem como colunas as imagens dos vetores da base expressas em coordenadas. Ou seja, a primeira coluna é a imagem de
e a segunda coluna é a imagem de
.
Passo 3
Calculando as imagens básicas por
:
Logo a matriz canônica de
(denotada
) na base padrão é a matriz cujas colunas são essas imagens:
Passo 4
Calculando as imagens básicas por
:
Portanto a matriz canônica de
(denotada
) é:
Passo 5
Regra de composição para matrizes (ordem de multiplicação): para qualquer vetor
vale
Então a matriz de
é
.
De forma análoga,
De forma análoga,
então a matriz de
é
.
Passo 6
Calcular
explicitamente. Usando
multiplica-se linha por coluna:
primeira entrada (linha 1, coluna 1):
primeira entrada (linha 1, coluna 1):
(1,2):
(2,1):
(2,2):
Logo
Passo 7
Calcular
. Usando as mesmas matrizes:
primeira entrada (linha 1, coluna 1):
primeira entrada (linha 1, coluna 1):
(1,2):
(2,1):
(2,2):
Portanto
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): as colunas de
devem ser
e
.
-
, — primeira coluna . -
, — segunda coluna .
Confere com
.
Também as colunas de
são
e
:
-
, . -
, .
Confere com
.]