Exemplo 23: Sejam \boldsymbol{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e \boldsymbol{S}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definidas por:
T(x, y)=(2 x+y, x+y) \text { e } S(x, y)=(x-y, y)
Encontre as matrizes canônicas das compostas \boldsymbol{S} \circ \boldsymbol{T} e \boldsymbol{T} \circ \boldsymbol{S}

Passo 1

O enunciado dá duas transformações de \mathbb{R}^2 e pede as matrizes canônicas (na base padrão) das compostas \boldsymbol{S}\circ\boldsymbol{T} e \boldsymbol{T}\circ\boldsymbol{S}. As informações fornecidas são:
T(x,y)=(2x+y,\;x+y)
S(x,y)=(x-y,\;y)
O que se pede:
  • A matriz canônica de \boldsymbol{S}\circ\boldsymbol{T}.
  • A matriz canônica de \boldsymbol{T}\circ\boldsymbol{S}.

Passo 2

Lembrete prático (como obter matriz canônica): tomar a base canônica \,e_1=(1,0),\;e_2=(0,1)\,. A matriz canônica de uma transformação linear tem como colunas as imagens dos vetores da base expressas em coordenadas. Ou seja, a primeira coluna é a imagem de e_1 e a segunda coluna é a imagem de e_2.

Passo 3

Calculando as imagens básicas por T:
T(1,0)= (2\cdot1+0,\;1+0)=(2,1),
T(0,1)= (2\cdot0+1,\;0+1)=(1,1).
Logo a matriz canônica de T (denotada A_T) na base padrão é a matriz cujas colunas são essas imagens:
A_T=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculando as imagens básicas por S:
S(1,0)=(1-0,\;0)=(1,0),
S(0,1)=(0-1,\;1)=(-1,1).
Portanto a matriz canônica de S (denotada A_S) é:
A_S=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Regra de composição para matrizes (ordem de multiplicação): para qualquer vetor v vale
(S\circ T)(v)=S(T(v))=A_S\bigl(A_T v\bigr)=(A_S A_T)v.
Então a matriz de \boldsymbol{S}\circ\boldsymbol{T} é A_S A_T.
De forma análoga,
(T\circ S)(v)=T(S(v))=A_T\bigl(A_S v\bigr)=(A_T A_S)v,
então a matriz de \boldsymbol{T}\circ\boldsymbol{S} é A_T A_S.

Passo 6

Calcular A_S A_T explicitamente. Usando
A_S=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad A_T=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
multiplica-se linha por coluna:
primeira entrada (linha 1, coluna 1):
1\cdot2+(-1)\cdot1=2-1=1.
(1,2):
1\cdot1+(-1)\cdot1=1-1=0.
(2,1):
0\cdot2+1\cdot1=1.
(2,2):
0\cdot1+1\cdot1=1.
Logo
A_S A_T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular A_T A_S. Usando as mesmas matrizes:
primeira entrada (linha 1, coluna 1):
2\cdot1+1\cdot0=2.
(1,2):
2\cdot(-1)+1\cdot1=-2+1=-1.
(2,1):
1\cdot1+1\cdot0=1.
(2,2):
1\cdot(-1)+1\cdot1=-1+1=0.
Portanto
A_T A_S=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): as colunas de A_S A_T devem ser S(T(e_1)) e S(T(e_2)).
  • T(e_1)=(2,1), S(2,1)=(2-1,1)=(1,1) — primeira coluna \begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix}.
  • T(e_2)=(1,1), S(1,1)=(1-1,1)=(0,1) — segunda coluna \begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Confere com A_S A_T=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}.
Também as colunas de A_T A_S são T(S(e_1)) e T(S(e_2)):
  • S(e_1)=(1,0), T(1,0)=(2,1).
  • S(e_2)=(-1,1), T(-1,1)=(-1,0).
Confere com A_T A_S=\begin{pmatrix}2&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.]

Resposta

\text{Matriz de }\boldsymbol{S}\circ\boldsymbol{T}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}
\text{Matriz de }\boldsymbol{T}\circ\boldsymbol{S}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}]

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