1. Ache uma base para o núcleo, da transformação linear T, definida por:
T(x, y, z)=(x+2 y-2 z, x-y+z)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base para o núcleo da transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z)=(x+2y-2z,\; x-y+z).
Informações dadas:
  • A transformação T tem domínio \mathbb{R}^3 e contradomínio \mathbb{R}^2.
  • A regra de T é dada pelas duas componentes lineares acima.
  • O que se pede: uma base do núcleo de T (isto é, um conjunto de vetores que gera \ker(T) e é linearmente independente).

Passo 2

Definição usada (para entender o que vamos achar): o núcleo de T é o conjunto de vetores do domínio que são enviados ao vetor zero do contradomínio. Em notação,
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Logo, para achar \ker(T) devemos resolver o sistema obtido ao igualar cada componente de T(x,y,z) a zero.

Passo 3

Escrevendo explicitamente o sistema T(x,y,z)=(0,0) obtemos
\begin{cases} x+2y-2z=0,\\[4pt] x-y+z=0. \end{cases}]

Passo 4

Vamos eliminar variáveis passo a passo. Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar x:
(x+2y-2z) - (x-y+z) = 0 - 0.
Na expressão do lado esquerdo os x cancelam e fica
3y-3z=0.
Dividindo por 3 obtemos
y-z=0\quad\Rightarrow\quad y=z.

Passo 5

Agora substituo y=z em uma das equações originais (uso a segunda, que é mais simples):
x - y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad x - y + y = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto chegamos a
x=0,\qquad y=z.

Passo 6

Parametrizo a solução usando um parâmetro livre. Seja t\in\mathbb{R} tal que z=t. Então y=t e x=0. O vetor genérico do núcleo é
(0,t,t)=t\,(0,1,1).
Isto mostra que todo vetor em \ker(T) é um múltiplo escalar do vetor (0,1,1).

Passo 7

Concluo que
\ker(T)=\operatorname{span}\{(0,1,1)\}.
O conjunto \{(0,1,1)\} contém um vetor não-nulo, portanto é linearmente independente e gera todo o núcleo. Logo é uma base do núcleo. (Verificação rápida: T(0,1,1)=(0+2-2,\;0-1+1)=(0,0), confirmando que (0,1,1)\in\ker(T).)

Resposta

\{(0,1,1)\}

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