- Ache uma base para o núcleo, da transformação linear
, definida por:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base para o núcleo da transformação linear
definida por
Informações dadas:
- A transformação
tem domínio e contradomínio . - A regra de
é dada pelas duas componentes lineares acima. - O que se pede: uma base do núcleo de
(isto é, um conjunto de vetores que gera e é linearmente independente).
Passo 2
Definição usada (para entender o que vamos achar): o núcleo de
é o conjunto de vetores do domínio que são enviados ao vetor zero do contradomínio. Em notação,
Logo, para achar
devemos resolver o sistema obtido ao igualar cada componente de
a zero.
Passo 3
Escrevendo explicitamente o sistema
obtemos
Passo 4
Vamos eliminar variáveis passo a passo. Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar
:
Na expressão do lado esquerdo os
cancelam e fica
Dividindo por
obtemos
Passo 5
Agora substituo
em uma das equações originais (uso a segunda, que é mais simples):
Portanto chegamos a
Passo 6
Parametrizo a solução usando um parâmetro livre. Seja
tal que
. Então
e
. O vetor genérico do núcleo é
Isto mostra que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
.
Passo 7
Concluo que
O conjunto
contém um vetor não-nulo, portanto é linearmente independente e gera todo o núcleo. Logo é uma base do núcleo. (Verificação rápida:
, confirmando que
.)