1. Dado (v, v)=7, (u, w)=-2, (v, w)=3, ||u||=2, ||v||=4. Calcule o valor da seguinte expressão:
    (u+2v-3w-u)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou transcrever exatamente como estão):
(v,v)=7,\quad (u,w)=-2,\quad (v,w)=3,\quad \|u\|=2,\quad \|v\|=4.
Pede-se calcular a expressão
(u+2v-3w-u).
Observações importantes sobre os dados e o enunciado:
  • Há uma ambiguidade no enunciado: os parênteses usados antes indicam produto interno, por exemplo (v,v)=7. Porém a expressão final (u+2v-3w-u) aparece sem segundo argumento do produto interno, então não está explícito se se quer apenas simplificar o vetor dentro dos parênteses ou calcular um produto interno (por exemplo o produto interno do vetor por si mesmo).
  • Também há uma incoerência numérica: \|v\|=4 significa que (v,v)=\|v\|^2=16, o que conflita com a informação (v,v)=7. Assim os dados escritos são inconsistentes entre si.
Eu não vou pedir informação adicional, então nas próximas etapas preciso escolher uma interpretação razoável e justificá-la antes de continuar.

Passo 2

Decisão de interpretação (explico por que escolhi isto):
  • É muito comum em exercícios pedir o produto interno do vetor com ele mesmo (ou seja, a norma ao quadrado) quando fornecem produtos internos entre vetores. Assim vou interpretar que o objetivo é calcular o produto interno do vetor com ele mesmo:
    \bigl(u+2v-3w-u,\;u+2v-3w-u\bigr).
  • Sobre a incoerência entre (v,v)=7 e \|v\|=4: como \|v\|=4 é uma informação direta sobre a norma que se traduz rigidamente em (v,v)=\|v\|^2=16, vou considerar que o valor (v,v)=7 é um erro de escrita no enunciado. Uma possibilidade plausível é que o dado correto fosse (w,w)=7. Essa escolha é natural porque então todos os dados ficam consistentes e permitem calcular o produto interno pedido. Adoto, portanto, a interpretação consistente:
    (v,v)=16,\qquad (w,w)=7.
    Se eu estivesse em prova e não pudesse perguntar ao professor, essa é a hipótese prática que permite resolver o exercício com sentido.

Passo 3

Reescrever e simplificar o vetor dentro do produto interno:
u+2v-3w-u.
Os termos u e -u se cancelam, portanto o vetor reduz-se a
2v-3w.
Então o produto interno a calcular, pela minha interpretação, é
(2v-3w,\;2v-3w).

Passo 4

Lembrando propriedades básicas do produto interno (aqui uma mini-aula):
  • O produto interno é bilinear: para quaisquer vetores a,b,c e escalares \alpha,\beta,
    (\alpha a+\beta b,\;c)=\alpha(a,c)+\beta(b,c)
    e
    (c,\;\alpha a+\beta b)=\alpha(c,a)+\beta(c,b).
  • É simétrico (num espaço real): (x,y)=(y,x).
  • A norma é dada por \|x\|=\sqrt{(x,x)}, então (x,x)=\|x\|^2.
Usaremos a bilinearidade para expandir (2v-3w,2v-3w).

Passo 5

Expansão pelo produto interno usando bilinearidade:
(2v-3w,\;2v-3w)=4(v,v)-12(v,w)+9(w,w).
Explicando cada termo: ao multiplicar (2v-3w) por (2v-3w) obtemos
  • o termo 2v vezes 2v 4(v,v),
  • o termo 2v vezes -3w e o termo -3w vezes 2v juntos dão -6(v,w)-6(w,v)=-12(v,w) (usei simetria (w,v)=(v,w)),
  • e -3w vezes -3w) 9(w,w).

Passo 6

Substituir os valores conhecidos (segundo a hipótese consistente que escolhi):
(v,v)=16,\qquad (v,w)=3,\qquad (w,w)=7.
Agora calculamos cada parcela:
4(v,v)=4\cdot16=64,
-12(v,w)=-12\cdot3=-36,
9(w,w)=9\cdot7=63.

Passo 7

Somar os termos:
64 + (-36) + 63 = 64 -36 +63.
Calcule passo a passo:
64-36=28,
28+63=91.

Resposta

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