- Dado (v, v)=7, (u, w)=-2, (v, w)=3, ||u||=2, ||v||=4. Calcule o valor da seguinte expressão:
(u+2v-3w-u)
(u+2v-3w-u)
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou transcrever exatamente como estão):
Pede-se calcular a expressão
Observações importantes sobre os dados e o enunciado:
- •Há uma ambiguidade no enunciado: os parênteses usados antes indicam produto interno, por exemplo
. Porém a expressão final aparece sem segundo argumento do produto interno, então não está explícito se se quer apenas simplificar o vetor dentro dos parênteses ou calcular um produto interno (por exemplo o produto interno do vetor por si mesmo). - •Também há uma incoerência numérica:
significa que , o que conflita com a informação . Assim os dados escritos são inconsistentes entre si.
Eu não vou pedir informação adicional, então nas próximas etapas preciso escolher uma interpretação razoável e justificá-la antes de continuar.
Passo 2
Decisão de interpretação (explico por que escolhi isto):
- •É muito comum em exercícios pedir o produto interno do vetor com ele mesmo (ou seja, a norma ao quadrado) quando fornecem produtos internos entre vetores. Assim vou interpretar que o objetivo é calcular o produto interno do vetor com ele mesmo:
- •Sobre a incoerência entre
e : como é uma informação direta sobre a norma que se traduz rigidamente em , vou considerar que o valor é um erro de escrita no enunciado. Uma possibilidade plausível é que o dado correto fosse . Essa escolha é natural porque então todos os dados ficam consistentes e permitem calcular o produto interno pedido. Adoto, portanto, a interpretação consistente:
Se eu estivesse em prova e não pudesse perguntar ao professor, essa é a hipótese prática que permite resolver o exercício com sentido.
Passo 3
Reescrever e simplificar o vetor dentro do produto interno:
Os termos
e
se cancelam, portanto o vetor reduz-se a
Então o produto interno a calcular, pela minha interpretação, é
Passo 4
Lembrando propriedades básicas do produto interno (aqui uma mini-aula):
- •O produto interno é bilinear: para quaisquer vetores
e escalares ,
e
- •É simétrico (num espaço real):
. - •A norma é dada por
, então .
Usaremos a bilinearidade para expandir
.
Passo 5
Expansão pelo produto interno usando bilinearidade:
Explicando cada termo: ao multiplicar
por
obtemos
- •o termo
vezes dá , - •o termo
vezes e o termo vezes juntos dão (usei simetria ), - •e
vezes dá .
Passo 6
Substituir os valores conhecidos (segundo a hipótese consistente que escolhi):
Agora calculamos cada parcela:
Passo 7
Somar os termos:
Calcule passo a passo:
Resposta
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