sendo
é a metade esquerda da circunferência de centro na origem e raio 6 no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a metade esquerda da circunferência de centro na origem e raio
, percorrida no sentido anti-horário. Informações relevantes fornecidas:
- o raio da circunferência é
; - o centro é a origem
; - estamos tomando apenas a metade esquerda da circunferência (isto é, os pontos com
); - a orientação é anti-horária (sentido positivo);
- o integrando é a função escalar
e o diferencial é o elemento de comprimento de arco .
Passo 2
Escolher uma parametrização adequada para
. Para uma circunferência de raio
centrada na origem usamos a parametrização padrão
Agora precisamos dos valores de
que percorrem a metade esquerda no sentido anti-horário. A circunferência inteira vai de
a
. A metade esquerda (onde
) corresponde a
Portanto usamos a parametrização em função de
nesse intervalo. Também precisamos do elemento de arco
, que para uma parametrização
é dado por
Calculemos
:
A norma é
Logo
Passo 3
Substituir
,
e
na integral. Primeiro calculemos
e
em função de
:
Portanto o integrando fica
Multiplicando por
, a integral paramétrica é
Simplificando o fator
,
Passo 4
Simplificar a integranda usando identidades trigonométricas básicas. Lembre:
Substituindo:
Somando os termos,
Assim a integral reduz-se a
Passo 5
Integrar termo a termo. Uma primitiva para cada termo é:
Portanto uma antiderivada é
Passo 6
Avaliar
entre os limites
e
. Calculemos
nos extremos:
Para
:
Logo
Para
:
Logo
Agora o valor da integral é
:
Note que os termos
se cancelam.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: pronto — depois de parametrizar a curva, transformar o integrando em função de
, usar identidades trigonométricas e integrar termo a termo, chegamos ao resultado exato e simples. Mandou bem por encarar a questão; esse é o tipo de integral que cai bastante em prova e, com esse procedimento, você resolve sem calculadora.