\int_{C} y^{2}-10 x y d s sendo C é a metade esquerda da circunferência de centro na origem e raio 6 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{C} \bigl(y^{2}-10xy\bigr)\,ds
onde C é a metade esquerda da circunferência de centro na origem e raio 6, percorrida no sentido anti-horário. Informações relevantes fornecidas:
  • o raio da circunferência é 6;
  • o centro é a origem (0,0);
  • estamos tomando apenas a metade esquerda da circunferência (isto é, os pontos com x\le 0);
  • a orientação é anti-horária (sentido positivo);
  • o integrando é a função escalar y^{2}-10xy e o diferencial é o elemento de comprimento de arco ds.

Passo 2

Escolher uma parametrização adequada para C. Para uma circunferência de raio 6 centrada na origem usamos a parametrização padrão
x(t)=6\cos t,\qquad y(t)=6\sin t.
Agora precisamos dos valores de t que percorrem a metade esquerda no sentido anti-horário. A circunferência inteira vai de t=0 a t=2\pi. A metade esquerda (onde \cos t\le 0) corresponde a
t\in\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right].
Portanto usamos a parametrização em função de t nesse intervalo. Também precisamos do elemento de arco ds, que para uma parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) é dado por
ds = \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\,dt.
Calculemos \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t)=(-6\sin t,\;6\cos t).
A norma é
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert=\sqrt{(-6\sin t)^{2}+(6\cos t)^{2}}=\sqrt{36(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}=6.
Logo
ds=6\,dt.

Passo 3

Substituir x(t), y(t) e ds na integral. Primeiro calculemos y^{2} e xy em função de t:
y^{2}=(6\sin t)^{2}=36\sin^{2}t,
xy=(6\cos t)(6\sin t)=36\sin t\cos t.
Portanto o integrando fica
y^{2}-10xy=36\sin^{2}t-10\cdot 36\sin t\cos t=36\sin^{2}t-360\sin t\cos t.
Multiplicando por ds=6\,dt, a integral paramétrica é
\int_{C}\bigl(y^{2}-10xy\bigr)\,ds =\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\bigl(36\sin^{2}t-360\sin t\cos t\bigr)\cdot 6\,dt.
Simplificando o fator 6,
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\bigl(216\sin^{2}t-2160\sin t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 4

Simplificar a integranda usando identidades trigonométricas básicas. Lembre:
\sin^{2}t=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 2t\bigr),
\sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin 2t.
Substituindo:
216\sin^{2}t=216\cdot \tfrac{1}{2}(1-\cos 2t)=108(1-\cos 2t)=108-108\cos 2t,
-2160\sin t\cos t=-2160\cdot \tfrac{1}{2}\sin 2t=-1080\sin 2t.
Somando os termos,
216\sin^{2}t-2160\sin t\cos t=108-108\cos 2t-1080\sin 2t.
Assim a integral reduz-se a
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\bigl(108-108\cos 2t-1080\sin 2t\bigr)\,dt.

Passo 5

Integrar termo a termo. Uma primitiva para cada termo é:
\int 108\,dt=108t,
\int -108\cos 2t\,dt=-108\cdot\frac{1}{2}\sin 2t=-54\sin 2t,
\int -1080\sin 2t\,dt=-1080\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cos 2t=540\cos 2t.
Portanto uma antiderivada é
F(t)=108t-54\sin 2t+540\cos 2t.

Passo 6

Avaliar F(t) entre os limites t=\tfrac{\pi}{2} e t=\tfrac{3\pi}{2}. Calculemos F nos extremos:
Para t=\tfrac{3\pi}{2}:
108t=108\cdot \tfrac{3\pi}{2}=162\pi,
\sin 2t=\sin(3\pi)=0,
\cos 2t=\cos(3\pi)=-1.
Logo
F\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=162\pi-54\cdot 0+540\cdot(-1)=162\pi-540.
Para t=\tfrac{\pi}{2}:
108t=108\cdot \tfrac{\pi}{2}=54\pi,
\sin 2t=\sin(\pi)=0,
\cos 2t=\cos(\pi)=-1.
Logo
F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=54\pi-54\cdot 0+540\cdot(-1)=54\pi-540.
Agora o valor da integral é F\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)-F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right):
\bigl(162\pi-540\bigr)-\bigl(54\pi-540\bigr)=162\pi-540-54\pi+540=108\pi.
Note que os termos -540 se cancelam.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: pronto — depois de parametrizar a curva, transformar o integrando em função de t, usar identidades trigonométricas e integrar termo a termo, chegamos ao resultado exato e simples. Mandou bem por encarar a questão; esse é o tipo de integral que cai bastante em prova e, com esse procedimento, você resolve sem calculadora.

Resposta

108\pi

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