Questāo 2. \{2,5 pontos \} Um passaro (considerado uma fonte puntiforme) emite um som com potència constante, em uma intensidade que varia com o inverso do quadrado da distancía entre o pássaro e o ouvinte. Qual é a variação do nível de intensidade sonora \beta do som do passarinho, quando você se afasta até o triplo da distância entre você e o pássaro?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a variação do nível de intensidade sonora \beta do som de um passarinho, quando você se afasta até o triplo da distância entre você e o pássaro. Informações dadas: o pássaro é uma fonte pontual que emite potência constante e a intensidade sonora I percebida varia com o inverso do quadrado da distância entre a fonte e o ouvinte (ou seja, I\propto 1/r^{2}). A pergunta quer a variação do nível de intensidade sonora \beta (em decibéis) ao passar de uma distância r para a distância 3r.

Passo 2

Entendendo a intensidade e a lei do inverso do quadrado: intensidade sonora I é a potência por unidade de área que chega ao ouvinte. Para uma fonte pontual com potência fixa, a mesma energia se espalha sobre uma esfera de área 4\pi r^{2}, por isso a intensidade cai como o inverso do quadrado da distância. Matematicamente, se I(r) é a intensidade a distância r, então existe uma constante k tal que
I(r)=\frac{k}{r^{2}}.
Agora calcule a razão entre a intensidade na nova distância 3r e a intensidade na distância original r. Usando a fórmula acima:
\frac{I(3r)}{I(r)}=\frac{\dfrac{k}{(3r)^{2}}}{\dfrac{k}{r^{2}}}=\frac{1}{(3)^{2}}=\frac{1}{9}.
Portanto, ao triplicar a distância, a intensidade cai a \tfrac{1}{9} da intensidade inicial.

Passo 3

Entendendo o nível de intensidade sonora \beta: o nível em decibéis é definido por
\beta=10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right),
onde I é a intensidade e I_{0} é uma intensidade de referência fixa. Se queremos a variação \Delta\beta ao trocar I por I', usamos
\Delta\beta=\beta'-\beta=10\log_{10}\!\left(\frac{I'}{I}\right).
Aqui I'=I(3r) e I=I(r). Já achamos \dfrac{I(3r)}{I(r)}=\dfrac{1}{9}. Substituindo:
\Delta\beta=10\log_{10}\!\left(\frac{1}{9}\right)=10\log_{10}(1)-10\log_{10}(9)=-10\log_{10}(9).
Podemos reescrever \log_{10}(9)=\log_{10}(3^{2})=2\log_{10}(3), então
\Delta\beta=-10\cdot 2\log_{10}(3)=-20\log_{10}(3).
Essa expressão é exata e já nos diz que \Delta\beta é negativa (ou seja, houve uma diminuição do nível sonoro).

Passo 4

Cálculo numérico e interpretação: use o valor aproximado \log_{10}(3)\approx 0{,}4771. Portanto
\Delta\beta=-20\log_{10}(3)\approx -20\times 0{,}4771=-9{,}542\\ \mathrm{dB}.
Interpretação: ao triplicar a distância, o nível de intensidade sonora diminui cerca de 9{,}54\\ \mathrm{dB}. O sinal negativo indica queda no nível sonoro. (Como comparação intuitiva: dobrar a distância reduz cerca de 6\\ \mathrm{dB}; triplicar reduz um pouco mais, cerca de 9{,}54\\ \mathrm{dB}.)

Resposta

-20\log_{10}(3)\approx -9{,}542\\ \mathrm{dB}

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