Dado o paralelogramo delimitado pelas retas: r 1: y=2 x, r 2: y=2 x+1, r 3: y+x=0, r 4: y+x=3. Calcule a integral dupla sobre P : \square \cos (y+x) d y d x.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{P}\cos(y+x)\,dy\,dx
sobre o paralelogramo P delimitado pelas retas \;r_1:y=2x,\;r_2:y=2x+1,\;r_3:y+x=0,\;r_4:y+x=3.
O que vamos usar aqui é uma mudança de variáveis que leve essas retas a retas de contorno constantes em variáveis novas.
Passo 2
Definimos
u = y + x,\quad v = y - 2x.
Então as retas viram \;r_3:y+x=0\Longrightarrow u=0,\;r_4:y+x=3\Longrightarrow u=3,\;
r_1:y=2x\Longrightarrow v=0,\;r_2:y=2x+1\Longrightarrow v=1.
Em outras palavras, no plano uv a região imagem R é o retângulo
0 \le u \le 3,\quad 0 \le v \le 1.
Passo 3
Para calcular o jacobiano, invertemos a transformação:
u = x+y,\quad v = y-2x \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x = \tfrac{u - v}{3},\\[6pt] y = \tfrac{2u + v}{3}. \end{cases}