Dado o paralelogramo delimitado pelas retas: r 1: y=2 x, r 2: y=2 x+1, r 3: y+x=0, r 4: y+x=3. Calcule a integral dupla sobre P : \square \cos (y+x) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{P}\cos(y+x)\,dy\,dx
sobre o paralelogramo P delimitado pelas retas \;r_1:y=2x,\;r_2:y=2x+1,\;r_3:y+x=0,\;r_4:y+x=3.
O que vamos usar aqui é uma mudança de variáveis que leve essas retas a retas de contorno constantes em variáveis novas.

Passo 2

Definimos
u = y + x,\quad v = y - 2x.
Então as retas viram \;r_3:y+x=0\Longrightarrow u=0,\;r_4:y+x=3\Longrightarrow u=3,\; r_1:y=2x\Longrightarrow v=0,\;r_2:y=2x+1\Longrightarrow v=1.
Em outras palavras, no plano uv a região imagem R é o retângulo
0 \le u \le 3,\quad 0 \le v \le 1.

Passo 3

Para calcular o jacobiano, invertemos a transformação:
u = x+y,\quad v = y-2x \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x = \tfrac{u - v}{3},\\[6pt] y = \tfrac{2u + v}{3}. \end{cases}
O jacobiano vale
J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \tfrac13 & -\tfrac13\\[4pt] \tfrac23 & \tfrac13 \end{pmatrix} = \tfrac{1}{3}.
Logo \bigl|\det(\partial(x,y)/\partial(u,v))\bigr|=\tfrac13.]

Passo 4

A integral no novo par de variáveis fica
\iint_{P}\cos(y+x)\,dy\,dx =\iint_{R}\cos(u)\,\frac{1}{3}\,du\,dv =\int_{v=0}^{1}\!\int_{u=0}^{3}\cos(u)\,\frac{1}{3}\,du\,dv.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em u:
\int_{0}^{3}\cos(u)\,du = \sin(u)\Big|_{0}^{3} = \sin(3).
Então
\int_{v=0}^{1}\!\int_{u=0}^{3}\cos(u)\,\frac{1}{3}\,du\,dv =\frac{1}{3}\,\sin(3)\,\int_{0}^{1}dv =\frac{\sin(3)}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin(3)}{3}

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