Questão 3 (1 ponto cada) Calcule o limite. Respostas sem justificativa são anuladas.
\quad \lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\ln \left(x^{3}-5 x^{2}+3 x+9\right)-\ln (x-3)\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to3^{+}}\bigl(\ln\bigl(x^{3}-5x^{2}+3x+9\bigr)\;-\;\ln(x-3)\bigr).
Este é um problema de limites envolvendo diferença de logaritmos. Vamos usar a propriedade
\ln A-\ln B=\ln\frac{A}{B}
para juntar os termos num único logaritmo e depois analisar o comportamento quando x\to3^{+}.

Passo 2

Aplicando a propriedade de logaritmos, temos
\ln\bigl(x^{3}-5x^{2}+3x+9\bigr)\;-\;\ln(x-3) =\ln\!\biggl(\frac{x^{3}-5x^{2}+3x+9}{\,x-3\,}\biggr).
Para simplificar o quociente, fazemos a divisão de x^{3}-5x^{2}+3x+9 por x-3.
Pela divisão sintética (ou polinomial), obtém-se
\frac{x^{3}-5x^{2}+3x+9}{x-3} = x^{2}-2x-3.
Logo o limite vira
\lim_{x\to3^{+}}\ln\bigl(x^{2}-2x-3\bigr).

Passo 3

Observe que, para x se aproximando de 3 pela direita,
x^{2}-2x-3\Bigm|_{x=3}=9-6-3=0 \quad\text{e para }x>3\text{ esse valor é positivo e tende a }0^{+}.é
Assim
\lim_{x\to3^{+}}\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)=0^{+} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to3^{+}}\ln\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)=-\infty.

Resposta

-\infty

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