Questão 3 (1 ponto cada) Calcule o limite. Respostas sem justificativa são anuladas.
\quad \lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{x^{3}+5 x+6}{x^{3}+x^{2}+2 x+2}\right)
\lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{(-1)^{3}+5 \cdot(-1)+6}{(-1)^{3}+(-1)^{2}+2 \cdot(-1)+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -1}\frac{x^3 + 5x + 6}{x^3 + x^2 + 2x + 2}.
Para resolver vamos primeiro verificar se a substituição direta gera indeterminação e depois usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Aplicando x=-1 diretamente no numerador e no denominador, temos
(-1)^3 + 5\cdot(-1) + 6 = -1 -5 +6 = 0,
(-1)^3 + (-1)^2 + 2\cdot(-1) + 2 = -1 +1 -2 +2 = 0,
logo obtemos a forma indeterminada 0/0, o que justifica a fatoração.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^3 + 5x + 6 = (x+1)(x^2 - x + 6),
x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x+1)(x^2 + 2).

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x+1) (para x\neq -1) e obtemos
\lim_{x\to -1}\frac{x^2 - x + 6}{x^2 + 2}.
Agora substituímos x=-1:
\frac{(-1)^2 - (-1) + 6}{(-1)^2 + 2} = \frac{1 + 1 + 6}{1 + 2} = \frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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