Dado um pequeno cubo onde age sigma1=40 MPa; sigma2=20 MPa; sigma3=4 MPa; determinar as componentes hidrostática e desviadora do estado de tensões vigente.

Passo 1

O enunciado fornece os três esforços principais de um ponto em um material, ou seja, sigma1=40,\textrm{MPa}, sigma2=20,\textrm{MPa} e sigma3=4,\textrm{MPa}, e pede que a gente decomponha esse estado de tensões em duas partes:
1. componente hidrostática (ou volumétrica), que é a tensão média
2. componente desviadora, que é o que sobra quando subtraímos a parte hidrostática da tensão total
Para isso usamos a decomposição
sigmaij = sigmam,de<aij + sij
onde sigmam é a tensão média e sij é o tensor desviador.

Passo 2

Calcular a tensão média (hidrostática) como a média aritmética dos esforços principais:
sigmam = sigma1 + sigma2 + sigma33 = 40 + 20 + 43 = 643,MPa approx 21,33,MPa

Passo 3

Determinar os componentes principais do tensor desviador subtraindo de cada sigmai a tensão média:
s1 = sigma1 - sigmam = 40 - 21,33 = 18,67,MPa,
s2 = sigma2 - sigmam = 20 - 21,33 = -1,33,MPa,
s3 = sigma3 - sigmam = 4 - 21,33 = -17,33,MPa

Passo 4

Escrever os dois tensores em forma matricial (no sistema principal):
Componente hidrostática:
sigmaij^(hid) = sigmam,de<aij = 21,33 1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1,MPa
Componente desviadora:
sij = 18,67 & 0 & 0 0 & -1,33 & 0 0 & 0 & -17,33 ,MPa

Resposta

Tensão média (hidrostática):
sigmam = 643,MPaapprox21,33,MPa
Componentes principais do tensor desviador:
s1=18,67,MPa, s2=-1,33,MPa, s3=-17,33,MPa
Matricialmente,
sigmaij^(hid) =21,33,de<aij, sij=diag(18,67,,-1,33,,-17,33),MPa

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