É dado o polinômio P(x)=x^4+C x^2+D x+E com C, D, E números reais. Sabe-se que o número complexo (0,1) é raiz de P(x)=0 e que dividindo-se P(x) por Q(x) obtém-se quociente Q1(x)=x^3+2 x^2+4 x+8 e resto 15 . Pede-se determinar P(x) e as raízes de P(x)=0.

Passo 1

O enunciado dá um polinômio P(x)=x^4+Cx^2+Dx+E com coeficientes reais, informa que i é raiz (logo -i também pela conjugação) e que, ao dividir P(x) por x-2, obtemos quociente Q1(x)=x^3+2x^2+4x+8 e resto 15. Vamos usar o teorema do resto e o algoritmo de divisão para encontrar P(x) e depois fatorá-lo para achar suas raízes.

Passo 2

Pelo teorema do resto, dividir por (x-2) com resto 15 significa que P(2)=15. Além disso, pelo algoritmo de divisão polinomial temos
P(x)=(x-2),Q1(x)+15

Passo 3

Agora expandimos
(x-2)(x^3+2x^2+4x+8)=x^4-16

Passo 4

e, somando o resto 15, obtemos
P(x)=x^4-16+15=x^4-1

Passo 5

Com isso fica C=0, D=0 e E=-1. Para encontrar as raízes, fatoramos:
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)

Resposta

P(x)=x^4-1 e suas raízes são x=1,,-1,,i,,-i.

Exercícios relacionados